Endomorphisme linéaire

euclidiens 2.4.1 Définitions fondamentales 2.4.2 Isométries affines du plan 2.4.3 Isométries affines de l'espace 2.4.4 Similitudes planes 2.4.5 La condition de cocyclicite 2.4.6 Applications aux similitudes directes 3. Coniques 3.0 Diagonalisation des endomorphismes symétriques 3.1 Equations d'une conique 3.2 Intersection d'une droite et d'une conique 3.2.1 Cas d'une ellipse ou d'une hyperbole 3.2.2 Cas d'une parabole 3.2.3 Tangente a une ellipse ou une parabole 3.2.4 Points d'ou l'on mène une tangente 3

à n . Pour tout polynôme P ∈ ℝ [X ] on pose ∆(P ) = P (X + 1) − P (X ) . Partie I 1.a Montrer que ∆ est un endomorphisme de ℝ [X ] . 1.b On suppose que P est un polynôme constant, préciser ∆(P ) . On suppose que deg P ≥ 1 , déterminer deg(∆(P )) . 2. Soit n ∈ ℕ∗ . On note ∆n la restriction de ∆ au départ de ℝ n [X ] . 2.a Justifier que ∆n est un endomorphisme de ℝ n [X ] . 2.b Déterminer le noyau de ∆n . 2.c Déterminer le rang puis l’image de ∆n . 3.a Déduire

un endomorphisme d’un R-espace vectoriel +∞ k ϕ de dimension finie, on note exp(ϕ) son exponentielle donnée par la série . k! k=0 Soit U un ouvert de Rn . Si f : U → Rp est une application de classe C 1 , on note dfx sa différentielle au point x, soit : 1 ∀h ∈ Rn , dfx (h) = lim (f (x + th) − f (x)) . t→0 t Préliminaires 1a. Soient α et β deux formes linéaires sur Rn telle que ker β ⊂ ker α. Montrer qu’il existe un réel λ tel que α = λβ. r 1b. Soient α, β1 , . . . , βr des formes linéaires sur

´ Exercices - Reduction des endomorphismes : ´nonc´ e e ´ Reduction pratique de matrices Exercice 1 - Diagonalisation - 1 - L1/L2/Math Sp´ e Diagonaliser les matrices suivantes : 0 3 2 0 2 −1     A =  3 −2 0  B =  −2 5 2  . 2 −3 0 −2 2 1 On donnera aussi la matrice de passage de la base canonique ` la base de vecteurs propres. a     Exercice 2 - Diagonalisation - 2 - L2/Math Sp´ e Expliquer sans calculs pourquoi la matrice suivante n’est pas diagonalisable : π 1 2   A =  0 π

L’application ϕ : y → xy, d´finie sur KE , est bien ` valeurs dans KE (stabilit´ pour le produit.) e a e Cette application est ´videmment Q-lin´aire. e e Elle est injective. En effet : y ∈ ker ϕ ⇒ xy = 0 ⇒ y = 0 car x = 0. Ainsi ϕ est un endomorphisme injectif de l’espace vectoriel de dimension finie KE . On en d´duit que ϕ est un isomorphisme de KE . e En particulier, il existe y dans KE tel que ϕ(y) = 1, c’est-`-dire tel que xy = 1. a Cela signifie que l’inverse de x dans R pour le produit

famille Ei,j 1 i,j n est une base de Mn (C), dite base canonique, et que ∀ (i, j, k, l) ∈ {1, . . . , n}4 , Ei,j Ek,l = δj,k Ei,l , avec δj,k = 1 si j = k et 0 sinon. Pour tout couple (P, Q) d’´ l´ ments de GLn (C), on notera uP,Q et vP,Q les endomorphismes de ee Mn (C) d´ finis par e ∀ M ∈ Mn (C), uP,Q (M ) = P M Q et vP,Q (M ) = P tM Q. Premi` re partie e 1. Soit A = (ai,j ) ∈ Mn (C). (a) Pour tout couple (i, j) d’´ l´ ments de {1, . . . , n}, exprimer les matrices AEi,j et Ei,j A dans ee la base

degr´ inf´rieur ou ´gal ` n, o` n o e e e a u est un entier naturel non nul. Pour λ r´el non nul, on d´finit l’application uλ qui au polynˆme P de E e e o associe le polynˆme : o 1 uλ (P )(X) = 1 P (X) + λ P (t) dt X 2 0 1. Montrer que uλ est un endomorphisme de E. 2. Pour quelles valeurs de λ, uλ est-il un automorphisme de E ? D´terminer e alors l’automorphisme u−1 . λ 3. D´terminer les valeurs propres et les sous-espace propres de uλ . L’endomorphisme e uλ est-il diagonalisable ? Solution : 1. L’application

f : R → R définie par f (x) = xn . Montrer que f est un endomorphisme du groupe (R , ×). En déterminer image et noyau. Exercice 2 [ 02219 ] [correction] Justifier que exp : C → C est un morphisme du groupe (C, +) vers (C , ×). En déterminer image et noyau. Exercice 3 [ 02220 ] [correction] Soit G un groupe noté multiplicativement. Pour a ∈ G, on note τa l’application de G vers G définie par τa (x) = axa−1 . a) Montrer que τa est un endomorphisme du groupe (G, ×). b) Vérifier que ∀a, b ∈ G, τa ◦ τb = τab

tout sous-espace propre pour uA est stable par uB (c’est un r´sultat e du cours). Notons λ1 , . . . , λk les valeurs propres de A deux ` deux distinctes et E1 , . . . , Ek les a sous-espaces propres associ´s. Ej ´tant stable par uB , uB induit un endomorphisme vj sur Ej . e e Or, la restriction ` un sous-espace stable d’un diagonalisable est diagonalisable (autre r´sultat a e du cours) et vj est donc diagonalisable. Il existe une base Bj de Ej form´e de vecteurs propres e pour vj et donc pour uB . De

 i −1 2i   I =  2 0 1 . −1 0 1   Exercice 13 - Matrice inverse et polynˆmes - L1/Math Sup o Soit A la matrice de Mn+1 (C) d´finie par ai,j = e j−i i−1 si i ≤ j, ai,j = 0 sinon. 1. Interpr´ter A comme la matrice d’un endomorphisme de Rn+1 [X]. e 2. En d´duire que A est inversible, et calculer son inverse. e Exercice 14 - Matrice ` diagonale dominante - L1/Math Sup a Soit A ∈ Mn (C) une matrice ` diagonale dominante, c’est-`-dire que pour tout i ∈ {1, . . . , n}, a a