Bolzano

agit depuis un demi siècle en faveur d’un développement durable dans les Alpes. Créée en 1952 , la CIPRA est composée de représentations nationales dans chaque état alpin, et d'une représentation régionale pour le Südtirol (Province autonome de Bolzano). Le siège de l'organisation est situé à Schaan, dans la Principauté du Liechtenstein Activités La CIPRA est une plate-forme d’information moderne et plurilingue qui s’adresse à toutes les personnes intéressées dans et hors des Alpes. Toutes les

droit à un traitement égal des bénéficiaires d’une aide au logement destinée à assurer une existence digne à tous ceux qui ne disposent pas de ressources suffisantes M. Kamberaj, ressortissant albanais, réside en Italie dans la province autonome de Bolzano depuis 1994. Titulaire d'un permis de séjour à durée indéterminée, il a bénéficié d’une « aide au logement » – contribution de la province pour aider les locataires les moins aisés à payer leur loyer – de 1998 à 2008. Cette aide est repartie entre

É inesquecível uma visita ao “Orso Grigio”em San Michele. Cidades: Trento, Rovereto Bolzano, Mesolombardo, Riva del Garda. Cozinha: Diversa cultura, rica cozinha italiana e alemã. Strudel com sabores de frutas, mel e canela. Em San Michele no Istituto del Vino finas carnes em grandes porções na pedra escaldante. Mar de frutas. Região de hospitalidade barata e acolhedora. Em Bressanone (próximo a Bolzano) o Prato do Elefante, assusta: Uma montanha de carne no restaurante homônino. VENETO:

est non bornée alors 1 i. (1pt) g est non bornée ⇔ ⇒ ⇒ ∀M ∈ R, ∃x ∈ [−1, 1[ , |g (x)| > M ∀n ∈ N; ∃xn ∈ [−1, 1[ , |g (xn )| > n ∃ (xn ) ∈ [−1, 1[ ; lim |g (xn )| = +∞ n→+∞ ii. (0 .5pt) , (xn ) ⊂ [−1, 1[ ⊂ [−1, 1] donc d’après le théorème de Bolzano-Weierstrass ∃ xϕ(n) une sous suite de (xn ) convergente vers α dans [−1, 1] . iii. (1pt) Supposons que α ∈ [−1, 1[ . Comme g est continue sur [−1, 1[ & lim xϕ(n) = α alors lim n→+∞ n→+∞ g xϕ(n) = |g (α)| . (0 .5pt) Or xϕ(n) une sous suite

seulement s’il existe une suite extraite de u qui converge vers l. Caractérisation Un réel l est valeur d’adhérence de la suite réelle u si et seulement si pour tout ε > 0, l’ensemble {n ∈ N | un ∈ ] l − ε, l + ε [} est infini. Théorème de Bolzano-Weierstrass De toute suite bornée de réels on peut extraire une sous-suite convergente. De manière équivalente, on peut dire que toute suite bornée de réels possède au moins une valeur d’adhérence. Point clé : on peut raisonner par dichotomie,

38 7.0.39 7.0.40 Ouverts, fermés et voisinages dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème (Borel-Lebesgue) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Points particuliers de la droite réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 44 47 49 49 8 Notion de la limite d'une fonction 8.0.41 8.0.42 8.0.43 8.0.44 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dénition non formelle . . . .

L’INFINI Par Nikita de Broux Tables des matières • 2 types d’infinis - Infini potentiel - Infini actuel • Les mathématiciens qui ont révolutionné l’infini - Aristote - Wilhem Gottfried Leibniz - Bernard Bolzano - Georges Cantor • L’univers est-il infini ? - Topologie de l’univers - Destinée de l’univers - Les trous noirs 2 TYPES D’INFINIS Infini potentiel • Quantité qui peut devenir toujours plus grande ou plus petite sans que jamais ce « devenir » ne se transforme en « être » • ex: - La

continuité, convergence etc..- (Gauss, Cauchy, Bolzano, Abel) ; et de l’autre la représentation des fonctions par des séries trigonométriques pour la physique, devient plus rigoureuse (Fourier, Lejeune-Dirichlet, Riemann). Exemple de résultat important sont les définitions renouvelées de la continuité d’une fonction (propriété devenue locale et non globale), et celle de la dérivée d’une fonction, telle qu’on les trouve chez Cauchy ou Bolzano (vers 1820). Ou encore chez Riemann (1867), la théorie

être transférées à deux provinces autonomes, la province de Bolzano et la province de Trente. Les régions à statut spécial ont été créées entre 1946 et 1963, tandis que les quinze autres régions ont été établies dans les années 1970. Cour constitutionnelle de la République italienne La Cour constitutionnelle contrôle les lois votées par le parlement italien, mais également par les régions et par les provinces autonomes de Bolzano et de Trente. Elle juge également les conflits de compétences

fonction telle que f(a) = f(b). L’égalité est cependant vraie si f est une fonction strictement monotone (c’est le théorème de la bijection, que l’on verra plus loin). Voici un cas particulier du TVI, démontré en 1817 par Bolzano. Corollaire 2.3.4 (Théorème de Bolzano). Soit f : [a, b] → R une fonction continue. Si f(a)f(b) < 0, alors il existe c ∈]a, b[ tel que f(c) = 0. Démonstration. En effet, f(a)f(b) < 0 signifie que f(a) et f(b) sont de signes contraires, donc que 0 est compris