Isobarycentre

A M B M m=3 m=5 (On pourra reproduire ces schémas à l'échelle de son choix) ® 2 ® 2. Le point G est tel que AG = AB . Quelle est la masse m pesée ? (Donnée : M = 2kg) 3 Exercice 8 ABCD est un quadrilatère. On note G son isobarycentre. Le but de cet exercice est de préciser le position de G. 1. On note I le milieu de [AC] et J le milieu de [BD]. Montrer que G est le barycentre de I et J munis de coefficients que l'on précisera. 2. Conclure et faire une figure. Exercice

3−i = 2 2 √ √ 1 3 3 3 = 2i. + +i + − 2 2 2 2 Donc C ′ = A. L’image de C est A. Les trois points images sont donc les sommets du triangle BCA. Or ce triangle a ses trois côtés de même longueur : il est donc équilatéral. c. G centre de gravité (ou isobarycentre des points A, B et √ du triC) √ 2i − 3 − i + 3 − i zA + zB + zC = = angle ABC a une affixe telle que zG = 3 3 0. France 2 juin 2004 Correction du baccalauréat S Le centre de gravité est donc le point O. Autre méthode : par définition

n’existe pas d’autre écriture de ce nombre si ce n’est l’écriture triviale 1 × 250 507. L’écriture précédente est donc unique. E XERCICE 3 Commun à tous les candidats 5 points 1. Par définition de A1 centre de gravité du triangle BCD, donc isobarycentre des − −→ → − −→ − − − → − − → −→ → − − − → − → −− − points B, C et D A1 B + A1 C + A1 D = 0 ⇐⇒ 3A1 A + AB + AC + AD = 0 ⇐⇒ − → − − → −→ − −→ 1 − − AA1 = AB + AC + AD . 3 −AC2 + AD2 − → −→ 1 − − − → − − → −→ −→ −→ − − − − Calculons AA1 · CD = AB

coefficients sont de même signe on a , donc G appartient au segment [AB]. α = - β d’où donc si ; GA est plus petit que GB ; G est plus près de A. d) Problème réciproque : exprimer un point comme barycentre de deux autres B milieu [AC] : B isobarycentre de A et de C, A barycentre de (B, 2) et (C,-1) 2 = , C barycentre de (A, 1) et (B,-2) 2 = . B au tiers de [AC] : B barycentre de (A, 2) et (C, 1) 2 = , A barycentre de (B, 3) et (C,-1) 3 = , C barycentre de (A, 2) et (B,-3) CA

sont perpendiculaires et ont même longueur : ABCD est donc un carré de centre I. 1 − → −− − −→ − → − → −− − − −→ MA + MC , faisons intervenir à gauche 2. Dans l’égalité MA − MB + MC = 2 le barycentre D et dans le membre de droite le milieu I (isobarycentre) de A et de C. 1 −→ − −→ − −− − → −→ − − − − → −→ − − − − → −→ − − −− − → 1 −→ − → − → MD + DA − MD + DB + MD + DC = MI + IA + MI + IC ⇐⇒ MD = 2MI 2 2 Polynésie + 2 juin 2004 Corrigé du baccalauréat S A. P M. E. P . . −− − →

diagonales sont perpendiculaires et ont même longueur : ABCD est donc un carré de centre I. 1 −−→ −−−→ −−→ −−→ −−−→ MA + MC , faisons intervenir à gauche 2. Dans l’égalité MA − MB + MC = 2 le barycentre D et dans le membre de droite le milieu I (isobarycentre) de A et de C. Polynésie 2 juin 2004 Corrigé du baccalauréat S A. P. M. E. P. 1 −−→ − −−−→ −−→ −−−→ −−→ −−−→ −−→ −−−→ 1 −−→ → −−→ −→ MD + DA − MD + DB + MD + DC = MI + IA + MI + IC ⇐⇒ MD = 2MI 2 2 −−−→ −−→ ⇐⇒ MD = MI ⇐⇒ MD = MI. L’ensemble

pentagone régulier ABCDE, il suffit de placer le point C symétrique de A par rapport à (OB), le point E intersection des cercles (C1) et (C4), le point D est l'intersection du cercle circonscrit et de la médiatrice de [AB] qui passe par O. 9. Isobarycentre du pentagone O, intersection des axes de symétrie du pentagone, en est le centre de gravité, donc : ++++=  ; Choisissons un repère où est le vecteur unité de (Ox) : xA = 1. En étudiant les abscisses on trouve xA+ xB+ xC+ xD+ xE = 0. En raison

non nul, le barycentre de ( A, α ) et ( B, β ) est aussi le barycentre de ( A, kα ), ( B, kβ ). Plus généralement ce théorème peut s’appliquer pour la détermination du barycentre d’un nombre quelconque de points pondérés. b. Cas particuliers : Isobarycentre. On appelle ainsi le barycentre de points affectés de coefficients égaux non nuls. 12 Séquence 3 – MA12 © Cned – Académie en ligne Or, d’après le théorème précédent, le barycentre des points pondérés ( A, α ) et ( B, α ) est aussi le

p − BC. p+q La notion de (p : q) sous-triangle 8. Soit G l’isobarycentre du triangle ∆(ABC). On sait que zG = 9. Notons G ′ l’isobarycentre du triangle (A ′ B ′ C ′ ). zG ′ = Par suite, le (p : q) sous-triangle du triangle ∆(ABC) a le même isobarycentre que ∆(ABC). 1 a′ + b′ + c′ = 3 3 qa + pb qb + pc qc + pa + + p+q p+q p+q = 1 (p + q)a + (p + q)b + (p + q)c a+b+c = = zG . 3 p+q 3 a+b+c . 3 Etude de suites 1 1 1 (qak + pbk ), bk+1 = (qbk + pck ) et ck+1 = (qck + pak ) ce qui s’écrit 10. Soit

point G → →  → vérifiant la relation vectorielle α ,GA + β ,GB = ,0, appelé barycentre du système de points pondérés {(A;α);(B;β)} Formule de placement: dans ce cas on a AG = β α +β AB Définition: Si α = β ≠ 0, alors le point G est appelé isobarycentre des points A et B. G est ici le milieu du segment [AB]. Propriété d'homogénéité: Soit k∈ * . Si G est le barycentre de {(A;α);(B;β)}, alors G est le barycentre de {(A;kα);(B;kβ)}. Propriété de réduction d'une expression vectorielle: Si G est le