ùkcqsmlc

Pages: 9 (2084 mots) Publié le: 6 janvier 2014
ECRICOME 2007 − Voie Technologique − Correction

Page 1

Correction Ecricome 2007
Voie technologique
La correction comporte 10 pages.

Exercice 1
1.1 Etude d’une fonction g auxiliaire
1. _
(a) Soit P la fonction polynomiale définie sur R par P (x) = 3x3 − x − 2. Comme P (1) = 0 et
P 0 (1) = 8 6= 0 puisque P 0 (x) = 9x2 − 1. Ainsi :
P est factorisable par x − 1
(b) Nous pouvons doncécrire que :
¡
¢
P (x) = (x − 1) ax2 + bx + c
¢
¡
= (x − 1) 3x2 + bx + 2 en identifiant le coefficient de x3 et la constante
¢
¡
= (x − 1) 3x2 + 3x + 2 en identifiant le coefficient de x2 à b − 3 dans P (x)
Conclusion :

Q (x) = 3x2 + 3x + 2
(c) Comme le discriminant de Q est strictement négatif, Q est donc strictement positif et P (x)
est uniquement du signe de x − 1.
Conclusion :
P (x) ≥0 ⇐⇒ x ≥ 1
P (x) < 0 ⇐⇒ x < 1
2. Tout d’abord g est dérivable sur R∗ en tant que somme de fonctions dérivables sur R∗ avec :
+
+
∀x ∈ R∗ , g 0 (x) = 3x2 − 1 −
+
=

2
x

3x3 − x − 2
x

3. Le signe de g 0 (x) est de celui de P (x) puisque x est strictement positif sur R∗ ainsi :
+
g est strictement croissante sur [1, +∞[
g est strictement décroissante sur ]0, 1]
4. Selon lesvariations de g sur R∗ et comme g (1) = 3 > 0 alors :
+
∀x ∈ R∗ , g (x) > 0
+

25 avril 2007

Concours 2007

ECRICOME 2007 − Voie Technologique − Correction

Page 2

1.2 Etude d’une fonction g auxiliaire
1. _
(a) Nous avons :
lim f (x) = −∞

x→0+

Car :
• lim+ (x + 1) = 1
x→0

• lim+ (x − 1 + ln x) = −∞
x→0

• lim+ x2 = 0+
x→0

et donc :

la courbe représentative de fnotée Cf admet une asymptote verticale d’équation x = 0
(b) Nous avons :
lim f (x) = +∞

x→+∞

Car :
• lim (x + 1) = +∞
x→+∞



x − 1 + ln x
= 0+ du fait que :
x2
1
x − 1 + ln x

+∞ x
x2
car ln x = o (x − 1) par croissances comparées.
lim

x→+∞

+∞

(c) Comme au voisinage de +∞ :
f (t) = x + 1 + ε (x)
x − 1 + ln x
et lim ε (x) = 0 nous pouvons dire que la courbereprésentative de
x→+∞
x2
fa admet au voisinage de +∞ une asymptote oblique (∆) d’équation :
avec ε (x) =

y =x+1
(d) Comme :
x − 1 + ln x
= 0+
x→+∞
x2
lim

nous pouvons affirmer que :
la courbe représentative de f est au-dessus de son asymptote oblique (∆)
2. _
(a) Tout d’abord f est dérivable sur R∗ en tant que somme et quotient (dont le dénominateur ne
+
s’annule pas sur R∗ ) defonctions dérivables sur R∗ avec :
+
+
µ

1
1+
x2 − 2x (x − 1 + ln x)
x
0
f (x) = 1 +
x4
2
2
x + x − 2x + 2x − 2x ln x
= 1+
x4
2
−x + 3x − 2x ln x
= 1+
x4
4
2
x − x + 3x − 2x ln x
=
x4
x3 − x + 3 − 2 ln x
=
x3
g (x)
=
x3

25 avril 2007

Concours 2007

ECRICOME 2007 − Voie Technologique − Correction

Page 3

(b) Le signe de f 0 (x) est de celui de g (x)puisque x est strictement positif sur R∗ et comme g > 0
+
sur cet ensemble, nous obtenons le tableau de variations suivant :
x
f 0 (x)
f (x)

0
−∞

+∞
+
%

+∞

(c) Nous avons :

(d) On laisse lecteur hachurer.
(e) La valeur de l’aire de la partie du plan hachurée est donnée par l’intégrale suivante :
Z e
[f (x) − (x + 1)] dx
I =
1

=

Z

1

e

x − 1 + ln x
dx
x2Notez que l’intégrale a bien un sens par continuité de l’intégrande sur [1, e] .
(f) Tout d’abord par linéarité de l’intégrale :
Z e
Z e
x−1
ln x
I =
dx +
dx
2
x2
1
1 x

Z eµ
Z e
1
1
1
=
ln x dx
− 2 dx +
2
x x
1
1 x

¸e Z e
1
1
=
ln |x| +
+
ln x dx
x 1
x2
1

¸e Z e
1
1
=
ln x +
+
ln x dx
x 1
x2
1
Z e
1
1
ln x dx
= ln e + − 1 +
e
x2
∙1
¸e Ze
1
ln x
dx
= ln e + − 1 + −
+
2
e
x 1
1 x
en intégrant par parties comme le préconisait l’énoncé en posant :
1
u (x) = ln x =⇒ u0 (x) =
x
1
1
v (x) = −
⇐= v 0 (x) = 2
x
x
25 avril 2007

Concours 2007

ECRICOME 2007 − Voie Technologique − Correction

Page 4

où u et v sont deux fonctions de classe C 1 sur le segment [1, e] .
Conclusion :

¸e Z e
1
ln x
dx
I...
Lire le document complet

Veuillez vous inscrire pour avoir accès au document.

Devenez membre d'Etudier

Inscrivez-vous
c'est gratuit !