SESSION 2012

Concours commun Mines-Ponts
DEUXIÈME ÉPREUVE. FILIÈRE MP

A. Préliminaires
1) Soit f ∈ L . Soit ξ ∈ R. La fonction x → f(x)e−2iπxξ est continue par morceaux sur R. De plus, pour tout x ∈ R,
|f(x)e−2iπxξ | = |f(x)|. Puisque f est intégrable sur R, il en est de même de la fonction x → f(x)e−2iπxξ . En particulier, f(ξ) existe dans R. On a montré que
∀f ∈ L , f est définie sur R.
R2
→
R
.
(ξ, x) → f(x)e−2iπxξ
• Pour chaque ξ ∈ R, la fonction x → Φ(ξ, x) est continue par morceaux sur R.
• Pour chaque x ∈ R, la fonction ξ → Φ(ξ, x) est continue sur R.
• Pour chaque (ξ, x) ∈ R2 , |Φ(ξ, x)| = |f(x)| = ϕ(x) où ϕ est une fonction continue par morceaux et intégrable sur R.
Soit Φ :

D’après le théorème de continuité des intégrales à paramètres, f est continue sur R.
∀f ∈ L , f est continue sur R.
2) Montrons que W (resp. W ∗ ) est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel L (resp. L ∗ ). On a déjà W ⊂ L (resp.
W ∗ ⊂ L ∗ ).
La fonction nulle est dans L (resp. L ∗ ) et 0 = 0 est dans L (resp. L ∗ ). Donc la fonction nulle est dans W (resp. W ∗ ).
Soient f et g deux éléments de W (resp. W ∗ ) et λ et µ deux nombres complexes. Alors, f et g sont dans L (resp. L ∗ ) et de plus f et g sont dans L (resp. L ∗ ). La fonction λf + µg est encore dans L (resp. L ∗ ) puis par linéarité de l’intégrale λf + µg = λf + µg.
Mais alors, puisque L (resp. L ∗ ) est un espace vectoriel, λf + µg est dans L (resp. L ∗ ) et finalement λf + µg est dans
W (resp. W ∗ ).
W (resp. W ∗ ) est un sous-espace vectoriel de L (resp. L ∗ ).
Soit f ∈ W ∗ . Alors f et f sont dans L ∗ ou encore f et f sont continues sur R et sont dominées en +∞ ou −∞ par une fonction du type x → |x|−α , α > 1. On en déduit que f et f sont continues par morceaux sur R et intégrables sur R et donc que f est dans W . On a montré que
W∗⊂W.
3) Soient f ∈ L et α > 0. Soit ξ ∈ R. La fonction x → f(αx)e−2iπxξ est continue par morceaux sur R et en posant u = αx (l’application x → αx est