TD 2A004
10895 mots
44 pages
Licence Sciences et TechnologieMention Ingénierie Mécanique
Mécanique des fluides - 2A004
TRAVAUX DIRIGÉS
DE MÉCANIQUE DES FLUIDES
Une allée de tourbillon de Karman dans les nuages provoquée par la rencontre du vent et une des îles de l’archipel Juan Fernandez au large du Chili. Image prise par le satellite Landsat 7, Bob Cahalan, NASA GSFC.
Equipe pédagogique
A. Belme (groupes 5)
C. Croizet (groupe 3 et 4)
A. Ghigo (groupes 6)
V. Mons (groupe 1)
J. Van Langenhove (groupe 2)
C. Croizet (cours)
2
1
Rappels de mathématiques et de statique
Exercice 1 : Fonctions à plusieurs variables
1) Calculer les dérivées partielles premières et secondes de la fonction f : R3 → R, f (x, y, z) = 5x2 − 12xy + 7y 3 + xαz , où α ∈ R∗
Calculer u = grad f , puis div u.
2) Pour quelle valeur de α ∈ R existe-il des fonctions f (x, y), de deux variables telles que l’on ait, en tout point (x, y) : grad f (x, y) = (x2 y 2, y + α x3 y), où grad f : R2 → R2 . Tracer z = f (x, y) pour z = 0 et z = 1. Tracer grad f . Vérifier que grad f est un vecteur dirigé dans le sens des f croissants.
Exercice 2 : Intégrales multiples
Calculer les intégrales doubles suivantes :
D
1 dx dy, où D est le rectangle [1, 2] × [1, 2].
(x + y)2
D
(x+y) dx dy, où D est le triangle dont les sommets sont O(0, 0), A(a, a), B(a, −a).
1)
2)
Exercice 3
Soit D le domaine délimité par la démi-sphère S1 et le disque S2 , où S1 = {(x, y, z) ∈
R3 | x2 + y 2 + z 2 = R2 , z ≥ 0} et S2 = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 ≤ R2 , z = 0}, R étant le rayon de la démi-sphère, supposé connu. On appelle par n la normale extérieure à ∂D = S1 ∪ S2 . dS ;
1) Calculer l’aire du disque S2 :
S2
n dS ;
2) Calculer
S1
n dS = 0 retrouver le
3) En utilisant le résultat de la question 1 et la propriété résultat de la question 2.
∂D
2
Statique des fluides
Exercice 1
On considère un récipient rempli d’un fluide de masse volumique ρ.
1) A l’intérieur de ce dernier, on isole un volume de fluide D de surface S. Faire l’inventaire des