Orthogonalité
Niveau : Tle S
Prérequis : - géométrie vectorielle dans le plan et dans l'espace : colinéarité, définition de droite et de plan au moyen de vecteurs directeurs, définition du produit scalaire, égalité de Pythagore
(Pour l'ensemble de la leçon on se place dans un repère orthonormé. Cela est nécessaire pour les équations cartésiennes, pour le reste il suffit d'admettre l’existence d'une base)
Remarque préliminaire :
Il y a deux manières d'aborder la leçon :
– On part de la définition vectorielle de l'orthogonalité.
– On part de la définition de droites perpendiculaires ( avec la caractérisation par l'égalité de
Pythagore)
En fait, ces deux approches sont équivalentes, puisque l'on peut définir le produit scalaire euclidien à partir de la norme euclidienne et réciproquement.

1 ) Orthogonalité dans le plan:
Activité d'introduction :(Niveau 1èreS)
On considère un triangle AMN quelconque du plan :
1° En étudiant la quantité MN²-AM²-AN², donner une condition nécessaire et suffisante pour que les droites (AM) et (AN) soient perpendiculaires.
2° Rappeler la définition de u.v en fonction la norme des vecteurs u et v.
3° Conclure.
Définition
Soient u et v deux vecteurs, les vecteurs u et v sont dits orthogonaux si u.v = 0
Propriété caractéristique
• Si u = vect(AB) et v = vect(AC) sont orthogonaux alors les droites ( AB) et (AC) sont perpendiculaires. • Si (AB) et (AC) sont perpendiculaires alors u = vect(AB) et v = vect(AC) sont orthogonaux
Propriété
Si u et v sont tout deux orthogonaux à un même vecteur w alors ils sont colinéaires.
Définition
Soit (d) une droite de vecteur directeur u, tout vecteur n tel que n.u=0 est dit vecteur normal à (d)
Propriété
Une droite est entièrement déterminée par un point et un vecteur normal.
Propriété
• Si (a, b) est un vecteur normal à (d), A un point de (d) alors (d) est l'ensemble des points de coordonnées (x, y) tels que (x-xA)a+ (y-yA)b=0
• Si ax+by=c est l'équation cartésienne de (d) alors (a, b) est un vecteur normal à