Ajustement affine

856 mots 4 pages
Ajustement affine
Lorsque le nuage de points de la série double (X, Y) est à peu près aligné, on cherche une relation entre X et Y de la forme y = ax + b, qui donne de façon approchée Y en fonction de X ; c'est ce que l'on appelle un ajustement affine.
Plusieurs questions se posent. En premier lieu, quelles sont les différentes méthodes pour obtenir un ajustement affine ? Comment utiliser cet ajustement pour déterminer des valeurs de Y en connaissant des valeurs de X ? Enfin comment, pour un nuage de points non alignés, peut-on se ramener au cas affine par un simple changement de variable ?
1. Comment trouver rapidement un ajustement affine entre X et Y ?
Première méthode :
On part d'une série statistique double (xi ; yi), avec 1 i n, dont le nuage de points est à peu près aligné. On place G, le point moyen de ce nuage, et on trace « à vue » une droite D qui passe par ce point et au plus près du maximum de points.
L'équation de cette droite (obtenue par lecture graphique ou déterminée à partir de deux points de la droite) donne un ajustement affine de la série double (X, Y).
Seconde méthode :
La méthode de Mayer permet également de trouver rapidement un ajustement affine. Toujours pour une série dont le nuage est à peu près aligné, on scinde le tableau de la série double en deux « sous-tableaux » de tailles à peu près égales. On calcule pour chacun de ces sous-tableaux les points moyens G1 et G2.
L'équation de la droite (G1G2) fournit un ajustement affine de (X, Y).
2. Comment obtenir un ajustement affine par la méthode des moindres carrés ?
Si les ajustements affines que l'on obtient par les méthodes précédentes sont relativement rapides à calculer, ils ne sont pas les « meilleurs » ajustements que l'on puisse trouver. Pour déterminer le « meilleur » ajustement possible, on utilise la méthode des moindres carrés.
Soit une série double (xi ; yi), avec 1 i n, dont le nuage de points est à peu près aligné. On considère une droite quelconque D

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