Algèbre linéaire licence 1

Pages: 237 (59021 mots) Publié le: 1 mars 2011
ESTIA 1eAnnée - Mathématiques Cours d’algèbre linéaire Edition 2008
Xavier Dussau, Jean Esterle, Fouad Zarouf et Rachid Zarouf 26 novembre 2008
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I.Harlouchet-en eskuhartzearekin

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Introduction
Ce cours d’algèbre linéaire se compose de 9 Chapitres. Dans le premier Chapitre on rappelle la définition et on donne sans démonstration les résultats classiques sur les espacesvectoriels et les applications linéaires (théorème de base incomplète, théorème de la dimension, etc. . .), avec en annexe une discussion de la notion d’application injective, surjective, bijective, illustrée par l’introduction des fonctions inverses des fonctions trigonométriques. Au Chapitre 2 on introduit le calcul matriciel et on traite en détail des formules classiques concernant les changementsde base. Au Chapitre 3 on rappelle les principales propriétés des déterminants, et on donne en annexe une introduction aux notations de la Physique (convention de sommation sur l’indice répété, etc. . .). Au Chapitre 4 on introduit le polynôme caractéristique pA d’une matrice carrée A, et on étudie la diagonalisation des matrices et des endomorphismes. On démontre directement au Chapitre 5 que pA(A) = 0 (théorème de CayleyHamilton) par la méthode des déterminants, on introduit le polynôme minimal qA d’une matrice carrée A, et on démontre le théorème de décomposition de Jordan : toute matrice carrée A dont le polynôme caractéristique est scindé s’écrit de manière unique sous la forme A = D + N, avec D diagonalisable, N nilpotente et DN = N D. Un calcul explicite de D et N est obtenu grâceau théorème chinois pour les polynômes. Ces résultats sont appliqués au Chapitre 6 à l’itération des matrices et à la théorie des systèmes différentiels linéaires. On présente au Chapitre 7 la théorie des espaces vectoriels euclidiens (projections orthogonales, procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt), et le Chapitre 8 est consacré aux matrices carrées symétriques et orthogonales, avecapplications à la Géométrie. Le dernier Chapitre est consacré à la notion de tenseur en Physique. De même que dans le cours d’algèbre, on a mis l’accent sur la possibilité de faire des calculs effectifs, et quand c’était possible on a systématiquement utilisé le logiciel de calcul formel MUPAD. Ceci dit l’effectivité des calculs trouve vite ses limites en algèbre linéaire dès qu’on s’écarte de problèmesrelevant de la méthode du pivot de Gauss : l’impossibilité de trouver des formules algébriques exactes pour résoudre les équations de degré supérieur à 4, et la complexité des formules de Cardan-Tartaglia, font qu’en pratique on s’occupe essentiellement des matrices carrées à 3 lignes et 3 colonnes ayant −2, −1, 0, 1 ou 2 comme valeur propre évidente.

Aitzin solasa
Algebra linealaren ikastaldihau bederatzi kapituluz osatua da. Lehen kapituluan definizioa oroitarazi eta frogapenik gabe espazio bektorialei eta aplikazio linealei buruzko emaitza klasikoak (oinarri ezosoaren teorema, dimentsioaren teorema, etab.) emanak dira. Aplikazio injektibo, suprajektibo eta bijektiboen

ii nozioak eranskinean eztabaidatuak dira, funtzio trigonometrikoen alderantzizko funtzioen aurkezpenazilustraturik. Bigarren kapituluan matrize-kalkulua aurkeztu eta oinarri-aldaketen formula klasiko batzu xeheki landuak dira. Hirugarren kapituluan, determinanteen propietate nagusiak oroitaraziak dira, eta eranskinean Fisikako idazkeren sarrera bat egina da (indize errepikatuarekiko batuketaren hitzarmena, etab.). Laugarren kapituluan, A matrize karratuaren pA polinomio karakteristikoa aurkeztua da, etamatrizeen eta endomorfismoen diagonalizazioa ikertua. Boskarren kapituluan pA (A) = 0 (Cayley-Hamiltonen teorema) zuzenean determinanteen metodoaren bidez frogatua da, A matrize karratu baten qA polinomio minimala aurkeztua da, eta Jordan-en deskonposaketa teorema frogatua : polinomio karakteristiko zatitua duen A matrize karratu oro era bakarrean A = D + N forman idazten da, non D diagonalizagarria...
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