Algèbre matricielle

Pages: 47 (11623 mots) Publié le: 19 juillet 2013
Annexe A Alg`bre Matricielle e
A.1 Introduction
Comme tous ceux qui ont ´tudi´ l’´conom´trie ou une quelconque autre discie e e e pline math´matique le savent, la diff´rence entre un r´sultat qui semble obscur e e e et difficile, et un r´sultat qui semble clair et intuitif, provient souvent simplee ment de la notation utilis´e. Dans presque tous les cas, la notation la plus e claire rend possiblel’utilisation des vecteurs et des matrices. Les lecteurs de ce livre devraient ˆtre assez familiers avec l’alg`bre matricielle. Cette annexe e e est destin´e ` aider ceux qui esp`rent se rafraˆ e a e ıchir la m´moire et r´unir les e e r´sultats avec une plus grande facilit´. Les lecteurs devraient noter que le e e Chapitre 1 contient aussi un nombre utile de r´sultats sur les matrices, en eparticulier ceux concernant les matrices de projection. Dans cette annexe, des preuves seront donn´es seulement si elles sont courtes ou si elles sont e int´ressantes. Ceux qui sont int´ress´s par un traitement plus complet et plus e e e rigoureux peuvent se reporter ` Lang (1987). a

´ A.2 Faits Elementaires Concernant les Matrices
Une matrice A de dimension n × m est un tableau rectangulaire dechiffres qui se compose de nm ´l´ments arrang´s dans n lignes et m colonnes. Le nom ee e de la matrice est de fa¸on conventionnelle retranscrit en caract`res gras. Un c e ´l´ment type de la matrice A pourrait ˆtre not´ Aij ou aij , o` i = 1, . . . , n ee e e u et j = 1, . . . , m. Le premier indice d´signe toujours la ligne et le second la e colonne. Il est parfois n´cessaire de montrer explicitementles ´l´ments d’une e ee matrice, dans ce cas ils sont dispos´s en lignes et en colonnes et entour´s par e e de grands crochets, comme dans B= 1 2 3 5 4 . 5

Ici B est une matrice de dimension 2 × 3. Si une matrice n’a qu’une seule colonne ou une seule ligne, elle est appel´e vecteur. Il existe deux types de vecteurs, des vecteurs colonnes et des e vecteurs lignes, dont les noms sont explicites.Puisque le premier type est 770

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plus courant que le second, un vecteur qui n’est pas sp´cifi´ pour ˆtre vecteur e e e ligne sera trait´ comme un vecteur colonne. Si un vecteur colonne comporte e n ´l´ments, il s’agira d’un vecteur ` n dimensions. Le caract`re gras est utilis´ ee a e e pour d´signer des vecteurs aussi bien que desmatrices. Il est conventionnel e d’utiliser des majuscules pour les matrices et des minuscules pour les vecteurs. Cependant, il est parfois n´cessaire d’ignorer cette convention. e Si une matrice a le mˆme nombre de colonnes que de lignes, elle est e carr´e. Une matrice carr´e A est sym´trique si Aij = Aji pour tout i et j. e e e Des matrices sym´triques surviennent tr`s fr´quemment en ´conom´trie. Une ee e e e matrice carr´e est diagonale si Aij = 0 pour tout i = j; dans ce cas, les seuls e ´l´ments non nuls sont ceux qui forment la diagonale principale. Parfois une ee matrice carr´e est compos´e de z´ros au-dessus ou au-dessous de la diagoe e e nale principale. Une telle matrice est dite triangulaire. Si les ´l´ments non ee nuls sont tous au-dessus de la diagonale, elle est ditetriangulaire-sup´rieure; e si les ´l´ments non nuls sont tous au-dessous de la diagonale, elle est dite ee triangulaire-inf´rieure. Voici quelques exemples: e       1 2 4 1 0 0 1 0 0 A = 2 3 6 B = 0 4 0 C =  3 2 0 . 4 6 5 0 0 2 5 2 6 Dans ce cas, la matrice A est sym´trique, la matrice B est diagonale, et la e matrice C est triangulaire-inf´rieure. e Une matrice sp´ciale qu’utilisent fr´quemment les´conom`tres est I, qui e e e e d´signe la matrice identit´. Il s’agit d’une matrice diagonale dont chaque e e ´l´ment diagonal est ´gal ` 1. Un indice est parfois utilis´ pour indiquer le ee e a e nombre de lignes et de colonnes. Ainsi,   1 0 0 I3 =  0 1 0 . 0 0 1 Un vecteur sp´cial que nous utilisons ´norm´ment dans ce livre est ι, qui e e e d´signe un vecteur colonne compos´ de 1. e e La...
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