Exercices du chapitre VIII : Espaces vectoriels

Soit E un espace vectoriel sur le corps K. Montrer les relations suivantes : ∀λ∈K ,∀X∈E (a) 0X = λ0 = 0 [deux de ces 0 sont dans E, et un seul (lequel?) est dans K]. (b) (−λ)X = −(λX) = λ(−X) on notera −λX cet ´l´ment. ee (c) (−1)X = −X (d) (−λ)(−X) = λX

No 1

Solution (a) On a indiqu´ en caract`re gras le 0 de K. En utilisant (EV2) e e 0X = (0 + 0)X = 0X + 0X , puis en utilisant les propri´t´s de groupe dans E, ee 0 = 0X + (−0X) = 0X + 0X + (−0X) = 0X . En utilisant (EV1) λ0 = λ(0 + 0) = λ0 + λ0 , puis en utilisant les propri´t´s de groupe dans E, ee 0 = λ0 + (−λ0) = λ0 + λ0 + (−λ0) = λ0 . (b) En utilisant (EV2) et (a) (−λ)X + λX = (−λ + λ)X = 0X = 0 . Donc (−λ)X est l’oppos´ de λX, et e (−λ)X = −(λX) . En utilisant (EV1) λ(−X) + λX = λ(−X + X) = λ0 = 0 . Donc λ(−X) est l’oppos´ de λX, et e λ(−X) = −(λX) . (c) Cas particulier de (b) avec λ = 1 en tenant compte de (EV4). (d) On utilise (b) en rempla¸ant X par −X et en tenant compte du fait que −(−X) = X. c

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(a) Montrer qu’une partie F d’un espace vectoriel E contenant 0 est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si ∀ x, y ∈ F , ∀ λ, µ ∈ R , λx + µy ∈ F . (b) Montrer qu’une partie F d’un espace vectoriel E contenant 0 est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si ∀ x, y ∈ F , ∀ λ ∈ R , λx + y ∈ F .

No 2

Solution D´montrons les inplications : F sous-espace de E =⇒ (a) =⇒ (b) =⇒ F sous-espace de E. e 1 F sous-espace de E =⇒ (a). Si x et y sont dans E et λ et µ dans K, alors λx et µy sont dans E (SEV2), puis λx + µy est dans E (SEV1). 2 (a) =⇒ (b) est ´vident. Il suffit de prendre µ = 1. e 3 (b) =⇒ F sous-espace de E. En prenant y = 0 on obtient SEV2. En prenant λ = 1 on obtient SEV1.

D´montrer les propositions suivantes : e (a) R(X) est de dimension infinie ; (b) F(N,R) est de dimension infinie ; (c) F(I,R) est de dimension infinie (si I n’est pas r´duit ` un point) ; e a (d) F(A,R) et F(A,Rn ) sont de dimension infinie, si et seulement