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Chapitre 1 :Résolution des systèmes linéaires
Introduction
En général, les phénomènes dépendent le plus souvent de plusieurs paramètres. Pour les modéliser, on utilise en mathématiques les systèmes d'équations linéaires à plusieurs inconnues.
A. Généralités sur le système linéaire
I.
Définition d’un hyperplan affine (Équation linéaire à
inconnues)
Définition :
Un hyperplan affine est représenté par une équation de type :
–
où les coefficients sont non tous nuls. C’est un sous-espace affine de dimension dans .
EXEMPLE :
La notion d'hyperplan est confondue avec celle
d’une droite dans le plan
d’un plan dans l’espace .
Deux équations linéaires sont équivalentes s’ils ont exactement les mêmes solutions. Si on multiplie, divise, additionne ou soustrait les deux membres d’une équation par un même nombre non nul, on obtient une équation équivalente à
.
EXEMPLE : est équivalente à l’équation
l’équation
a. Équation linéaire à deux inconnues (une droite dans le plan
Définition :
Une équation linéaire (du premier degré) à deux inconnues où les coefficients
,
et la constante
et
sont des données (
.
)
et à coefficients réels est de la forme : et sont non tous nuls).
EXEMPLE :
Un fleuriste propose un type de bouquets de fleurs composé de 2 roses jaunes et 3 iris pour un prix de 8
Unités Monétaires. Soit le prix d'une rose jaune et le prix d'un iris. On peut modéliser le problème sous forme d’une équation linéaire à deux inconnues
.
Résoudre une telle équation dans
revient à rechercher tous les couples de solutions
EXEMPLE :
Soit l’équation linéaire à deux inconnues
qui la vérifient :
Professeure LAHLOU Amale
Chapitre I
Comme
Comme
est solution de l’équation : n’est pas solution de l’équation :
, alors le couple
, alors le couple
IL existe une infinité de solutions vérifiant l’équation
à chaque choix de
ou encore, à chaque choix de
correspond un