Algorithme

Pages: 70 (17301 mots) Publié le: 16 juin 2014
Miage

Th´orie des graphes et algorithmes
e
Jo¨lle Cohen
e
8 septembre 2006

Introduction
Ce r´sum´ de cours ne pr´tend pas ˆtre exhaustif ni se substituer en aucune mani`re aux
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ouvrages publi´s sur ce sujet. Ce document n’a d’autre but que de fournir aux ´tudiants un
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support de cours. Apr`s une pr´sentation des notions de base sur les graphes seront abord´s
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quelques probl`mes et des algorithmes les r´solvant :
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e
– parcours de graphe
– arbre couvrant minimum
– plus court chemin
– d´tection de circuit dans un graphe orient´ , d´termination des composantes fortement
e
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e
connexes d’un graphe orient´ , tri topologique
e
– ordonnancement
– flots (en cours)
– couplage (` venir)
a
remarque : dans les algorithmes qui seront d´crits, leterme FIN signifie une sortie du proe
gramme en cours d’ex´cution.
e

1

Table des mati`res
e
1 G´n´ralit´s sur les graphes
e e
e
1.1

5

D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e

5

1.1.1

graphe non orient´ (graph) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e

5

1.1.2

graphe non orient´ simple . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e

6

1.1.3

graphe orient´ fini (digraph) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e

6

1.2

Isomorphisme de graphes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Sous-graphes et graphes partiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4

Degr´s . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e

8

1.4.1

degr´ dans un graphe non orient´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
e

8

1.4.2

degr´ dans un graphe orient´
e
e

1.5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Chaˆ
ınes - Cycles - Connexit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
e
1.5.1
1.5.2

Composantes connexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.3
1.6

D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
e
Distance dans un graphe non orient´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
e

Chemins - Circuits - Forte Connexit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
e
1.6.1

D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 12
e

1.6.2

graphe orient´ fortement connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
e

1.7

Fermeture transitive d’un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.8

Repr´sentation des graphes
e

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.8.1
1.8.2

Un premier algorithme : algorithme deRoy-Warshall . . . . . . . . . . . 14

1.8.3
1.9

Matrice d’adjacence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Liste d’adjacence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Quelques notions particuli`res . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
e
1.9.1

Les 7 ponts de K¨nigsberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15o

1.9.2

Coloration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.9.3

Graphe biparti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.9.4

Graphe planaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2

2 Arbres et Parcours de graphe
2.1

19

D´finitions - Caract´risations . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 19
e
e
2.1.1

Arbre en th´orie des graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
e

2.1.2

Arborescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2

Propri´tes et caract´risations des arbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
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2.3

Arbre couvrant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
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