Analyse Factorielle de correspondances simple

Pages: 11 (2110 mots) Publié le: 18 mars 2015
Analyse Factorielle de correspondances simple

L’analyse factorielle des correspondances (AFC)
L’objectif est identique à L’ACP ; les variables exigées sont nominatives avec
des tableaux de contingences. Cette méthode complète les tris croisés et les tests
de CHI-DEUX, lorsque les variables ont un grand nombre de modalités.
PRINCIPES DE L'AFC

Analyse du nuage des profils en ligne

A partir dutableau de contingence: K, on passe au tableau: X, des profils en
ligne, c'est à dire des fréquences conditionnelles, obtenu en divisant chaque
élément de la ligne i, par son total k(i):
xij =

kij
ki

Ainsi la ligne i du tableau X, donne la répartition en proportions selon les p
modalités du second caractère des k(i) individus qui prennent la modalité: i, du
premier caractère.
Le terme de profilfait référence à l’aspect visuel des diagrammes en rectangles
fréquemment utilisés pour représenter les distributions, ici celles de fréquences
conditionnelles indiquées.

Les lignes de X étant donc des fréquences, ou encore des probabilités
p

empiriques, l'ACP du nuage de ses n lignes, éléments de R , est effectuée non
selon la distance usuelle, mais selon la distance, dite du chi-deux, adaptée àla
comparaison de fréquences ou de probabilités. D'autre part, pour tenir compte de
l'importance relative des différentes modalités en ligne, la ligne-individu i est
affectée du poids: k(i).
1

L'AFC du tableau de contingence: K, est l'ACP du tableau: X, des profils en
ligne, avec la distance du chi-deux et les poids précédents.
Les différentes notions présentées en ACP:
• les taux d'inertie
•les coordonnées et plans factoriels (ou principaux)
• les contributions
• les éléments supplémentaires

se retrouvent ici; elles conservent la même signification et s'utilisent de la même
manière qu'en ACP.

Analyse des profils en colonne, représentation simultanée

A l'inverse de ce qui se passe en ACP, lignes et colonnes d'un tableau de
contingence: K, jouent des rôles comparables.

A l'analyse dutableau: X, des profils en ligne correspond celle du tableau: Y,
des profils en colonnes - avec la distance et les poids convenables.
Du fait de relations algébriques particulières, les deux analyses peuvent être
menées conjointement. Elles présentent en outre une propriété remarquable: sans
entrer dans le détail mathématique, il est loisible de représenter les deux
ensembles: I et J,simultanément sur les plans factoriels, de telle sorte que la
position d'un point de l'ensemble I (resp. J) y est interprétable par rapport à
l'ensemble de tous les points de l'ensemble J (resp. I).

Pour cette raison, la plupart des logiciels éditent la représentation simultanée des
deux ensembles dans les plans principaux demandés.
2

On retiendra impérativement que cette interprétation reste délicate, etque la
proximité entre un point-ligne et un point-colonne considérés isolément n'a
aucune signification.

Formalisation de l’AFC

L’AFC, comme il a été dit, est une forme particulière de l’ACP appliquée aux
tableaux de contingence : non centrée-réduite, avec pondérations, et utilisant la
métrique dite du chi-deux (ie des inverses des fréquences marginales) au lieu de
la métrique euclidienneusuelle.

On note K le tableau de contingence, ou tableau croisé, initial, de dimension n.p,
FJ/I le tableau des profils en ligne (fréquences conditionnelles, conditionnées par
les items en ligne) et FI/J celui des profils en colonne. DI désigne la matrice
diagonale portant sur sa diagonale les totaux en ligne (ou totaux marginaux) et
DJ celle des totaux en colonne.
Les différentes matrices précédentessont naturellement liées:
F j / i = DI−1 K et Fi / j = KDJ−1

Le produit scalaire de deux vecteurs u et v dans Rp pour la métrique du chi-deux
est donné par le produit matriciel: u’. DJ−1 .v , à un facteur multiplicatif près, par
suite l’inertie dans la direction du vecteur DJ−1 unitaire u du nuage des profils en
ligne, pour la métrique précédente avec pour pondérations les totaux en ligne,
est...
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