Analyse

Pages: 5 (1211 mots) Publié le: 8 mars 2013
M1 EBF  TD de Techniques quantitatives 2008/2009

S.Turolla

Note 2 - Modèle de régression linéaire simple

Soit le modèle de régression linéaire suivant :

y i = β 1 + β 2 x i + εi

i = 1, . . . , n

1 Hypothèses sur le modèle de régression linéaire simple
H.1 Linéarité : La relation entre la variable expliquée yi et la variable explicative xi est linéaire H.2 Exogénéité de lavariable explicative : La variable explicative n'intervient pas dans la
prédiction des εi

E [εi |xi , xi , . . . , xi ] = 0

H.3 Nullité de l'espérance des erreurs :
E (εi ) = 0

L'espérance des aléas est nulle

i = 1, . . . , n
Les aléas sont homoscédastiques1

H. 4 Homoscédasticité et absence d'autocorrélation :
et non autocorrélés, autrement dit 1. leur variance est constante

V(εi ) = E [εi − E (εi )]2 = E (εi )2 = σ 2
2. leur covariance est nulle

COV (εi , εj ) = E [[εi − E (εi )] [εj − E (εj )]] = E (εi , εj ) = 0

Corollary 1 Si les hypothèses 1 et 2 sont vériées alors l'aléa ε est un bruit blanc. H.5 Données générées de manière exogène
(xi1 , xi2 , . . . , xin ) est indépendant de celui qui génère εi .
: Le processus ayant généré les données Les observationsH.6 Hétérogénéité entre les observations de la variable explicative :

(xi1 , xi2 , . . . , xijn ) ne sont pas toutes identiques, ainsi la variance empirique des xi est non nulle.
On parle d'homoscédasticité lorsque la variance d'un processus est constant. Si la variabilité des erreurs ne uctuent pas entre observations (ex. le revenu pour les ménages nombreux), alors les erreurs sont diteshomoscédastiques
1

2 Estimateur des Moindres Carrés Ordinaires (M.C.O.)
L'estimateur des MCO est dérivée de la minimisation de la somme des carrés des aléas M in On obient d'après les C.P.O :
n i=1 (xi − x) (yi − n 2 i=1 (xi − x) n 2 i=1 εi .

β2 =
2.1

y)

et β 1 = y − β 2 x

Propriétés de l'estimateur des MCO

Sous les hypothèses H.1 à H.6, l'estimateur des MCO est Best LinearUnbiaised Estimator (BLUE). Autrement dit, il est

Sans biais : Ecace :

E β 1 = β 1 et E β 2 = β 2
Parmi les estimateurs non biaisés des paramètres β 1 et β 2 , l'estimateur des MCO a la variance la plus faible

Remark 1 Ces deux propriétés sont issues du théorème de Gauss-Markov. Convergent :
(propriété asymptotique)

3 Tests de signicativité des paramètres
De la propriété denormalité des aléas (H.3 et H.4), on en déduit que les estimateurs β 1 et β 2 sont des variables aléatoires. La variance de l'estimateur de β 1 et β 2 nous étant inconnue, on détermine à la place l'estimateur de la variance de ces paramètres dont l'expression fait intervenir l'estimateur non biaisé des aléas correspondant à

σ2 = ε

1 n−2

e2 i
i

On en déduit les estimateurs de la varianceempirique des estimateurs des MCO :

σ2 = σ2 ε β
1

1 + n

x2 2 i (xi − x)

et σ 2 = β
2

σ2 ε (xi − x)2 i

Ainsi, ces derniers suivent la loi de probabilité suivante :

 β1 N β 1 , σ2 ε 1 + n

 x2  et β 2 2 i (xi − x)

N

β2,

σ2 ε (xi − x)2 i

Comme toute variable aléatoire centrée réduite suit une loi normale de paramètres N (0, 1), on en déduit que

β1 − β1 β − β2et 2 σβ σβ
1 2

N (0, 1)

2

Les estimateurs théoriques des variances empiriques des estimateurs des MCO inconnus, on les remplace par leur estimateur empirique σ 2 , σ 2 β β

σ2 , σ2
β1

β2

étant

n − 2 degrés de liberté2 . Il en résulte que

1

2

dont leur distribution est un χ2

β1 − β1 β − β2 et 2 σβ σβ
1 2

tn−2

suivent une loi de student à n − 2 degrés deliberté3 . Il devient ainsi possible de mettre en place des tests statistiques pour répondre aux questions telles que :

Déterminer un intervalle de conance des estimateurs des MCO :
1 − α = Pr β k − σ β tα/2 (n − 2) ≤ β k ≤ β k + σ β tα/2 (n − 2)
k k

k = 1, 2

Comparer la valeur d'un paramètre à une valeur xe :
de réaliser le test d'hypothèse suivant

Il est par exemple très courant...
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