CHAPITRE III

Arithmétique dans Z
3.1 Introduction à la théorie des groupes
a) Généralités Dénition 3.1 i) Une loi de composition interne T sur un ensemble E est une application de E × E dans E . Pour tout (x, y) ∈ E × E , l'élément T (x, y) est noté xT y . ii) Une partie F de E est dite stable pour la loi T si : ∀x, y ∈ F, xT y ∈ F . iii) Une relation binaire R sur E est dite compatible avec la loi T si :

∀x, y, x , y ∈ E, on a (xRy et x Ry ) ⇒ (xT x )R(yT y ).

Exemples 3.1
1) L'opération d'addition, notée +, est une loi de composition interne sur Z. L'ensemble des entiers naturels N est une partie de Z, stable pour l'addition. 2) Soit E un ensemble non vide et soit F(E) = {f | f : E → E application}. La composition des applications, notée o, est une loi de composition interne sur F(E). Si on note par S(E) = {f ∈ F (E) | f bijective} alors S(E) est une partie de F(E), stable pour la loi o. 3) Soit n ∈ N∗ et soit ≡ la relation de congruence modulo n dénie sur Z par : x ≡ y mod (n) ⇔ x − y est divisible par n. On vérie que la relation ≡ est compatible avec l'addition. Dans la suite (sauf mention contraire) une loi de composition interne sera notée par · ou +.

Dénition 3.2 1) Soit G un ensemble muni d'une loi de composition interne (x, y) → x · y . On dit que cette loi détermine sur G une structure de groupe (ou que G est un groupe) si les trois axiomes suivants sont vériés : i) La loi · est associative, c.-à-d. ∀x, y, z ∈ G, (x · y) · z = x · (y · z). ii) La loi · admet un élément neutre, c.-à-d. ∃e ∈ G tel que ∀x ∈ G, x · e = e · x = x. iii) Tout élément x de G admet un symétrique x ∈ G pour la loi ·, c.-à-d. ∀x ∈ G, ∃x ∈ G tel que x · x = x · x = e. 2) Le groupe (G, ·) est dit commutatif (ou abélien) si de plus la loi · est commutative, c.-à-d. ∀x, y ∈ G, x · y = y · x.

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Remarques 3.1
Soit (G, ·) un groupe. 1) G = ∅ car e ∈ G. 2) L'élément neutre est unique. Il en est de même pour le symétrique x d'un élément x de G donné ; qu'on note