Bac de maths 2013

1005 mots 5 pages
Exercice 1

Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à .
Dans un pays, il y a 2 % de la population contaminée par un virus.
Partie A
On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :
 la probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité du test) ;
 la probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spécificité du test).
On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.
On note V l'événement : « la personne est contaminée par le virus », et T l'événement : « le test est positif ». et désignent respectivement les événements contraires de V et T.
1.
a) Préciser les valeurs des probabilités , et .
Traduire la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
b) En déduire la probabilité de l'événement .
2. Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,0492.
3.
a) Justifier par un calcul la phrase :
« Si le test est positif, il n'y a qu'environ 40 % de "chances" que la personne soit contaminée ».
b) Déterminer la probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.
Partie B
On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants.
On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes.
1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
2. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.

Exercice 2
Soit la suite définie par et pour tout nombre entier naturel n, par .
Si f est la fonction définie sur l'intervalle par : , alors on a, pour tout nombre entier naturel n, .
On donne sur la figure ci-dessous une partie de la courbe représentative de la fonction f ainsi que la droite

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