Exercices corrig´s de calcul diff´rentiel e e
Bernard Le Stum∗ Universit´ de Rennes 1 e Version du 28 mars 2003

Introduction
J’ai eu l’occasion de participer pendant plusieurs ann´es ` l’enseignement de e a l’Unit´ d’Enseignement CDIF (calcul diff´rentiel) de la Licence de Math´matiques e e e de l’Universit´ de Rennes 1. Lorsque j’ai commenc´, le cours ´tait fait par Jeane e e Claude Tougeron qui avait r´dig´ un polycopi´ contenant une liste importante e e e d’exercice. En pr´parant mes travaux dirig´s, j’ai pris la peine de r´diger des e e e corrig´s des diff´rents exercices que j’ai pu faire avec les ´tudiants. J’ai aussi e e e r´dig´ les rappels de cours que j’ai ´t´ amen´ ` faire. e e ee ea Ce document contient donc un certain nombre d’exercices corrig´s avec les e rappels de cours n´cessaires. Il est possible de couvrir tout ceci avec des ´tudiants e e de troisi`me ann´e d’universit´ sur un semestre en trois heures de Travaux e e e Dirig´s par semaine. e

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1.1

Fonctions diff´rentiables, formule de la moyenne e
Rappel

Si E et F deux espaces vectoriels norm´s, on note L(E, F ) l’espace des e applications lin´aires continues de E dans F . C’est un espace vectoriel norm´ e e pour Φ = supu=0 Φ(u) . u Remarquons que sii dim E < ∞, la continuit´ est automatique. e On ´crira tout simplement L(E) lorsque F = E. On identifie L(R, F ) avec e F par Φ → Φ(1). Lorsque F = F1 × F2 , on identifie L(E, F ) avec L(E, F1 ) ⊕ L(E, F2 ). Lorsque E = Rm et F = Rn , on identifie L(E, F ) avec Mn×m .

1.2

D´finition e

Soient E et F deux espaces vectoriels norm´s et U un ouvert de E. On dit e qu’une application f : U → F est diff´rentiable en α ∈ U s’il existe Φ ∈ L(E, F ) e tel que f (α + h) − f (α) − Φ(h) → 0 quand h → 0. h Celle-ci est alors unique et on pose f (α) = Φ. C’est la diff´rentielle de f en α. e L’application f est alors continue en α.
∗ lestum@univ-rennes1.fr

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1.3

Remarques

Lorsque E = R, on a donc f (α) ∈ F . Si F = F1 × F2 , alors f = (f1