Chapitre 1

Pages: 51 (12715 mots) Publié le: 23 mai 2013
Second degré

Chapitre

1

Sur la photographie, l’écoulement de l’eau est non perturbé ; le flot est guidé par la rigole de la fontaine et les gouttelettes formant ce flot arrivent toutes parallèlement, avec une vitesse assez importante ; ces vitesses sont toutes dans la direction de l’axe de la rigole. En utilisant l’exercice 94, on voit que les trajectoires de ces gouttelettes sont des arcsde parabole et ces arcs sont sensiblement les mêmes, ceux d’une parabole assez « ouverte » (influence de la vitesse) et cette gerbe de paraboles conduit à l’aspect donné par la photographie. On peut même noter que les deux bords de sortie de la rigole changent très légèrement la direction de la vitesse des gouttelettes, donc le plan de la parabole, ce qui explique le resserrement du flot au niveaumédian. Si l’on place un doigt verticalement dans la vasque supérieure, près de l’entrée de la rigole, on produit une perturbation de l’écoulement : une partie de l’eau heurte le doigt, rebondit dans toutes les directions et perturbe aussi l’écoulement de l’eau qui n’a pas heurtée le doigt. Au lieu de s’engouffrer dans la rigole avec des vitesses assez importantes et toutes dans la direction del’axe de la rigole, les gouttelettes sinuent dans la rigole, heurtent les parois et sortent de la rigole avec une vitesse nettement plus faible et ces vitesses sont dans toutes les directions. Les trajectoires sont toujours des arcs de parabole mais, d’une part ces paraboles se répartissent dans la famille des plans verticaux à la sortie de la rigole et, d’autre part, ces paraboles sont au contrairetrès fermées (influence d’une vitesse faible) ; d’ou l’aspect d’une gerbe s’écoulant le long de la paroi, aspect renforcé par le fait que la paroi n’est pas tout à fait verticale.

1 a. f1 est sous forme factorisée, avec a = 3, x1 = 0 et x2 = 10. b. f2 est sous forme canonique, avec a = 3, α = 5 et β = −75. c. f3 est sous forme développée, avec a = 3, b = −4 et c = −10. d. f4 est sous formefactorisée, avec a = −1, x1 = 2 et x2 = − 3. e. f5 n’est sous aucune des trois formes. On développe et on réduit pour obtenir : f5(x) = −18x − 9. Il ne s’agit pas d’un polynôme du second degré mais d’une fonction affine. f. f6 n’est sous aucune des trois formes. On développe et on réduit pour obtenir : f6(x) = 2x2 + 2x + 41. Il s’agit d’un trinôme du second degré, sous forme développée avec a = 2, b = 2et c = 41. g. f7 n’est sous aucune des trois formes. On développe et on réduit pour obtenir : f6(x) = x2 + 20x − 25. Il s’agit d’un trinôme du second degré, sous forme développée avec a = 1, b = 20 et c = −25. 2 1. b.

2. c.

3. c.

4. a.

© Éditions Belin 2011

3 1. 1. Il s’agit d’une équation produit, donc x = 4 ou x = −4. 2. Pas de solution. 3. Il s’agit d’une équation produit, donc x= 7 ou x = −3. 4. Il s’agit d’une équation produit, donc x = − 3 ou x = 3. 2. a. x2 − 3x = 0 ⇔ x(x − 3) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 3. 4 b. 3x2 + 4x = 0 ⇔ 3x(x + ) = 0 ⇔ x = 0 ou 3 4 x=− . 3 c. −x2 + 5x = 0 ⇔ −x(x − 5) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 5. 1 d. 5x2 + x = 0 ⇔ 5x(x + ) = 0 ⇔ x = 0 ou 5 1 x=− . 5
Chapitre 1 ■ Second degré
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4 a. L’équation f(x) = 0 admet deux solutions qui sont −2 et 1. L’équationg(x) = 0 admet les mêmes solutions. L’équation h(x) = 0 admet deux solutions qui sont −3,5 et 2,5.

b. L’inéquation f(x) 0 admet comme solution l’ensemble ]−∞ ; −2[ ]1 ; +∞[. L’inéquation g(x) 0 admet comme solution l’ensemble ]−2 ; 1[. c. Le sommet de f a pour cordonnées (0,5 ; 2,25). Les sommets de g et h ont pour coordonnées (0,5 ; −4,5).
5 a. a = 2 qui est positif, donc il s’agit de g ou h. Deplus, les solutions de l’équation 2(x − 1)(x + 2) = 0 sont 1 et −2 ; il s’agit donc d’une expression de la fonction g. 1 b. a = qui est positif et les coordonnées 2 ⎛1 9⎞ du sommet sont (α ; β) = ⎜ ; − ⎟ ; il s’agit ⎝2 2⎠ donc de g ou h. Comme d’après la réponse a., le coefficient a = 2 pour g, il s’agit d’une expression de h. c. Les racines ne sont pas utiles car f et g ont les mêmes. Par...
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