Chapitre2

Pages: 11 (2663 mots) Publié le: 31 octobre 2015
CHAPITRE II
ESPACES VECTORIELS REELS
1- LES ESPACES VECTORIELS REELS
• On appelle espace vectoriel réel, tout ensemble
E muni de deux opérations somme interne + et
produit externe par un réel qui vérifient toutes les
propriétés de la somme et du produit externe
énoncées dans le chapitre précédent. On le note
(E, +, ⋅).
Notation et théorème démontré en TD :
1) l’ensemble (Rn,+, ⋅) de tous lesvecteurs à n
lignes et une colonne muni est un espace vectoriel
réel.
2) l’ensemble (Mm,n ,+, ⋅) de toutes les matrices à
m lignes et n colonnes est un espace vectoriel réel
2. LES SOUS-ESPACES VECTORIELS
• On appelle sous-espace vectoriel F, de l’espace
vectoriel (E, +, ⋅), une partie de E telle que munie
1

des mêmes opérations que E, elle constitue un
espace vectoriel.
Théorème
1) Pour que F unepartie non vide de E soit un
sous-espace vectoriel il suffit qu’il vérifie les
propriétés suivantes :
a)
la somme de deux éléments de F appartient
à F (stabilité par +) :
∀ u ∈ F, ∀ v ∈ F, u + v ∈ F
b)
le produit par réel d’un élément de F
appartient à F (stabilité par ⋅) :
∀ λ ∈ R, ∀ u ∈ F, λ u ∈ F
2) On peut résumer ces deux propriétés par une
seule :
Toute combinaison linéaire de F appartient àF (stabilité par combinaison linéaire) :
∀ u∈F, ∀ v∈F, ∀ λ ∈ R, ∀ µ ∈ R , λ u + µ v ∈ F
Preuve.
1)
Comme tous les éléments de F sont des
éléments de E, ils vérifient naturellement
toutes les propriétés de l’espace vectoriel. Le
seul risque est qu’au cours des opérations, on
sorte de F pour aller dans E : ce risque est

2

éliminé par les propriétés exigées par le
théorème.
2.1) si F est stablepar combinaison linéaire c’est à
dire λ u + µ v ∈ F, en choisissant :
λ = µ = 1 on obtient u + v ∈ F
et µ = 0 on obtient λ u ∈ F.
2.2) si F est stable par chaque loi alors
λ u ∈ F et µ v ∈ F par 1) b
puis λ u + µ v ∈ F par 1) a
Remarques :
1) Un sous espace vectoriel réel d’un espace E
contient toujours l’élément 0E
2) {0E} est toujours un sous espace vectoriel de E.
EXEMPLES
1) Soit F l’ensembledes vecteurs de format 2×1
tels la première coordonnée soit un 1.

3

&, 1 )#
* '
F= %*+ c '(" où c est un réel quelconque. F est bien
$ !
une partie non vide de l’espace vectoriel E formé
des vecteurs de format 2×1.

Or si l’on prend deux éléments de F,
&1#
&1#
& 2 #
$$ !!
$$ !!
v = c et w = d alors v+w = $$ c + d !! qui n’est
% "
% "
%
"
pas un élément de F puisque sa première
coordonnée n’estpas 1; si l’on effectue le produit
v où a est un réel quelconque,
&1#
&λ#
$
!
λv = λ $ c ! = $$ λc !! qui n’est pas un élément de
% "
% "

F puisque sa première coordonnée n’est pas 1 ;
donc F n’est pas un sous-espace vectoriel de E.

2) Soit G l’ensemble des vecteurs de format 2×1
tels que les deux coordonnées soient les mêmes.
&, c )#
G= %** c ''" où c est un réel quelconque. G est bien
$+ (!

unepartie non vide de l’espace vectoriel E formé
des vecteurs de format 2×1. Or si l’on prend deux
&c#
&d #
$$ !!
éléments de G,
v= c
et
w = $$ d !!
% "
% "
4

&c + d #
$$
!!
alors v+w = % c + d " qui est un élément de

G puisque ses deux coordonnées sont les mêmes ;
si l’on effectue le produit av où a est un réel

& c # & λc #
$$ !! $$ !!
quelconque, λv = λ % c " = % λc " qui est un élément
de Gpuisque ses deux coordonnées sont les mêmes
; donc G est un sous-espace vectoriel de E.

On aurait pu le démontrer en une seule fois en
calculant une combinaison linéaire des éléments v
&c#
&d #
$
!
et w : λ v + µ w = λ $ c ! + µ $$ d !! =
% "
% "

& λc + µd #
$$
!! qui est
λ
c
+
µ
d
%
"

un élément de G puisque ses deux coordonnées
sont les mêmes.
Théorème
Soient F et G deux sous espacesvectoriels réels
de E, alors :
F ∩ G est un sous espace vectoriel réel de E.
Preuve
• 0E ∈ F, 0E ∈ G ⇒ 0E ∈ F∩G
donc F∩G ≠ ∅
5

• ∀ u∈ F∩G, ∀ v∈ F∩G, ∀ λ ∈ R, ∀ µ ∈ R
λ u + µ v ∈ F (car F est un espace vectoriel)
λ u + µ v ∈ G (car G est un espace vectoriel)
donc
λ u + µ v ∈ F∩ G
3 - SYSTEME GENERATEUR ET SYSTEME
LIBRE
a) Combinaison linéaire et système générateur
• Un élément v de E est une combinaison...
Lire le document complet

Veuillez vous inscrire pour avoir accès au document.

Vous pouvez également trouver ces documents utiles

  • chapitre2
  • Chapitre2
  • Chapitre2
  • Chapitre2
  • Chapitre2
  • Chapitre2
  • Chapitre2
  • Candide chapitre2

Devenez membre d'Etudier

Inscrivez-vous
c'est gratuit !