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Pages: 8 (1867 mots) Publié le: 8 décembre 2012
ths probaProbabilit´ s, cours pour la classe de Terminale e STG
F.Gaudon 16 f´ vrier 2008 e

Table des mati` res e
1 Probabilit´ s (rappels) e 2 3 4 ´ e Ev´ nements Calculs de probabilit´ s e Probabilit´ s conditionnelles e 4.1 Notion de probabilit´ conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.2 Arbre pond´ r´ s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 4.3 Ind´ pendanced’´ v´ nements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 2 3 4 5 5 6 7

1

1

Probabilit´ s (rappels) e

D´ finitions : e • Une exp´ rience est dite al´ atoire lorsqu’elle a plusieurs issues aussi ape e pel´ es eventualit´ s possibles dont on ne peut pas pr´ voir laquelle sera e ´ e e r´ alis´ e. e e ´ • L’ensemble de toutes les eventualit´ s constitue l’univers de tous les posesibles. Exemple : Le lancer d’un d´ a six faces constitue une exp´ rience al´ atoire d’issue xi e ` e e ` ` pour i allant de 1 a 6 et correspondants a la sortie de la face i du d´ . Il y a donc 6 e ´ issues ou eventualit´ s possibles. e

D´ finition : e Soit E = {x1 ; x2 ; . . . ; xr } l’ensemble des issues d’une exp´ rience al´ atoire, e e ` e on d´ finit une loi de probabilit´ sur E en associant achaque issue xi un e nombre pi tel que : • pour tout entier i tel que 0 pi 1 ; • p1 + p2 + . . . + pn = 1. pi est appel´ e probabilit´ de l’issue xi . e e Propri´ t´ : ee Si on r´ p` te une exp´ rience al´ atoire dont les issues sont {x1 ; x2 ; . . . ; xn } un e e e e nombre n de fois, alors • les fr´ quences d’apparition des xi v´ rifient f1 + f2 + . . . + fr = 1 et 0 e e fi 1 ; • si n devient grand,les fr´ quences se stabilisent autour de la probabilit´ pi e e (loi des grands nombres). ` Exemple : On jette un d´ 100 fois et on note la face apparue a chaque lancer. Si le e 12 1 apparaˆt 12 fois la fr´ quence de sortie est 100 = 0, 12. On a f1 +f2 +. . .+f6 = 1. ı e Si le nombre de lancers devient grand, les fr´ quences se stabilisent autour de e 1 , probabilit´ d’apparition du 1. e 6 2 Exemple : Une pi` ce de monnaie est truqu´ e de sorte que la probabilit´ d’obtenir pile est e e e le double de celle d’obtenir face. On appelle p1 la probabilit´ d’obtenir pile et p2 e celle d’obtenir face. On a donc p1 + p2 = 1. Or p1 = 2 × p2 donc 2p2 + p2 = 1 d’o` 3p2 = 1 et p2 = 1 et p1 = 1 − 1 = 2 . u 3 3 3

D´ finition : e Lorsque les r issues d’une exp´ rience al´ atoire ont la mˆ meprobabilit´ p de e e e e 1 e se r´ aliser, on parle de loi equir´ partie. Alors p = r . e ´ Exemple : Pour le lancer d’un d´ non truqu´ a six faces, chaque face ayant la mˆ me e e ` e ´ probabilit´ d’apparaˆtre, la loi est equir´ partie et chaque face i a une probabilit´ e ı e e 1 ` pi d’apparaˆtre egale a pi = 6 ı ´

2

´ e Ev´ nements
Soit E l’univers associ´ a une exp´ rience al´ atoire. e` e e• Toute partie de l’univers est appel´ un ev´ nement et le nombre d’´ l´ ments e ee ´ e ´ e d’un ev´ nement A est appel´ son cardinal. e ´ e ´ • Tout ev´ nement form´ d’une seule eventualit´ est appel´ ev´ nement e e e ´ e el´ mentaire. ´e • ∅ est appel´ ev´ nement impossible. e´ e • E est l’´ v´ nement certain. e e

D´ finition : e

Exemple : lancer d’un d´ a six faces : e` ´ e • « obtenir 1 ou2 »est un ev´ nement ; ´ e ´e • « obtenir 1 »est un ev´ nement el´ mentaire ; • « obtenir 7 »est l’´ v´ nement impossible. e e

3

D´ finition : e Soit P une loi de probabilit´ d´ finie sur un ensemble E, alors la probabilit´ e e e ´ e d’un ev´ nement est la somme des probabilit´ s des issues qui le r´ alise. e e Propri´ t´ : ee • P (∅) = 0 ; • P (E) = 1 ; ´ e • pour tout ev´ nement A, 0

P(A)

1.

´ Propri´ t´ (cas d’une loi equir´ partie) : ee e ´ ´ e Dans le cas d’une loi equir´ partie, la probabilit´ d’un ev´ nement A est : e e P (A) = ` nombre d’issues favorables a A nombre d’issues possibles dans E

3 Calculs de probabilit´ s e
D´ finition : e ´ e Soient A et B deux ev´ nements. • L’´ v´ nement A ∩ B (lire « A inter B »ou « A et B ») est l’ensemble des e e ` issues...
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