Correction
1.a 1.b

u n est un endomorphisme de E et on sait qu’image et noyau d’un endomorphisme sont des sous-espaces vectoriels.

∀y ∈ Fn +1 = Im u n +1 , ∃x ∈ E tel que y = u n +1 (x ) donc y = u n (u (x )) ∈ Im u n = Fn . Ainsi Fn +1 ⊂ Fn .
∀x ∈ Gn = ker u n , on a u n +1 (x ) = u (u n (x )) = u (o ) = o donc x ∈ ker u n +1 = Gn +1 . Ainsi Gn ⊂ Gn +1 .

2.

F ⊂ E . Pour tout n ∈ ℕ , o ∈ Fn car Fn est un sous-espace vectoriel de E , donc o ∈ F .
Soit λ , µ ∈ ℝ et x , y ∈ F . Pour tout n ∈ ℕ , x , y ∈ Fn , or Fn est un sous-espace vectoriel de E donc λx + µy ∈ Fn et donc λx + µy ∈ F .

G ⊂ E . o ∈ G1 car u (o ) = o donc o ∈ G .
Soit λ , µ ∈ ℝ et x , y ∈ G . Il existe n , m ∈ ℕ tel que x ∈ Gn et y ∈ Gm . Posons p = max(n , m ) . On a Gn ,Gm ⊂ G p donc x , y ∈ G p . Or G p est un sous-espace vectoriel de E dont λx + µy ∈ G p puis λx + µy ∈ G . 2.b Soit x ∈ F . Pour tout n ∈ ℕ , on a x ∈ Fn donc u (x ) ∈ Fn +1 . Ainsi ∀n ∈ ℕ * , u (x ) ∈ Fn . De plus F0 = Im u 0 = Im Id = E , donc u (x ) ∈ F0 . Ainsi u (x ) ∈ Fn pour tout n ∈ ℕ et donc u (x ) ∈ F . Soit x ∈ G . Il existe n ∈ ℕ tel que x ∈ Gn c’est à dire tel que u n (x ) = o . Si n > 0 , alors u n −1 (u (x )) = o donc u (x ) ∈ Gn −1 puis u (x ) ∈ G . Si n = 0 , alors u 0 (x ) = o donc x = o car u 0 = Id . Mais alors u (x ) = o et donc u (x ) ∈ G . 2.c 3.a Si u est un automorphisme de E alors pour tout n ∈ ℕ , u n l’est aussi. On a donc Fn = E car u n surjectif et Gn = {o } car u n injectif. Au final F = E et G = {o } . Par récurrence sur p ∈ ℕ . Pour p = 0 : ok Supposons la propriété établie au rang p ≥ 0 . La suite (Fn ) est décroissante donc Fn + p +1 ⊂ Fn + p . Soit y ∈ Fn + p , ∃x ∈ E tel que y = u n + p (x ) . Or u n (x ) ∈ Fn = Fn +1 donc ∃a ∈ E tel que u n (x ) = u n +1 (a ) et donc

y = u p (u n (x )) = u p (u n +1 (a )) = u n + p +1 (a ) ∈ Fn + p +1 . Ainsi Fn + p ⊂ Fn + p +1 .
Par double inclusion, Fn + p = Fn + p +1 , puis par HR, Fn = Fn + p +1 . Récurrence établie. 3.b L’ensemble A =