Chaudiére

Pages: 11 (2680 mots) Publié le: 4 septembre 2013
CHAPITRE 2
LA TRANSFORMATION DE LAPLACE
La transformation de Laplace est une opération intégrale qui permet de transformer une fonction d’une variable réelle en une fonction d’une variable complexe. Par cette transformation, une équation différentielle linéaire peut être représentée par une équation algébrique. Cette transformation permet aussi de représenter des fonctions particulières(distribution de Heaviside, distribution de Dirac, etc.) de manière très élégante. Ce sont ces possibilités qui rendent la transformation de Laplace intéressante et populaire auprès des ingénieurs. Cette transformation a donné lieu à la technique du calcul opérationnel ou calcul symbolique qui facilite la résolution des équations différentielles linéaires qui représenteront les systèmes que nous allonsétudier.

1- TRANSFORMATION DE LAPLACE 1-1-Définition
s    j , une variable complexe; l’expression :


Soit f(t) une fonction a valeur réelle ou complexe de la variable réelle t définie de  0 à  [ et soit

L f (t )   F s    e st f t dt
0

s’appelle la transformation de Laplace unilatérale.

1-2-Ordre exponentiel
On dira qu’une fonction f(t) est d’ordre exponentiel àl’infini si et seulement si, il existe un couple de nombres réels et M tel que :

f (t )  Met , t  0
1-3-Existence de la Transformation de Laplace
Soit f(t) une fonction continue par morceau sur l’intervalle fermé [0, a] (pour tout a>0) et ayant un ordre t exponentiel à l’infini tel que f (t )  Me ; alors, la transformation de Laplace L(f) existe et est définie pour s   .

1-4-Unicité dela Transformation de Laplace
Soient f(t), et g(t), deux fonctions Supposons que: continues par morceaux avec un ordre exponentiel à l’infini.

L f (t )   L( g (t ))
Alors f (t)=g(t) pour

t  0, D





, pour tout D > 0, sauf peut être en un nombre fini de points.

9

Exemple 1: Si f (t)=1, alors L(f(t) L1 e  st dt  1 .



0

s

Dans cet exemple, l’intégraleconverge si et seulement si la partie réelle de s  0 Exemple 2 : Si f(t)e
at

alors

L(f(t)) Le  eat e  st dt  1 s a 0
at



,

Il y’a convergence si Rel (s-a) 0 Transformée Bilatérale :

ou Rel (s)  Rel (a).

On définit aussi une transformation de Laplace sur le domaine R des nombres réels:

L f(t)  Fs  e st f t dt




Cette transformation n’estpas beaucoup utilisée dans le domaine de l’engineering car on considère les signaux qui respectent la causalité et donc qui existent à partir d’un instant t 0.

1-5. Transformation de Laplace Inverse
On peut revenir de la transformée de Laplace à la fonction du temps f(t) par la transformation inverse suivante:
x  j

f(t)F s 1 est Fs ds 2..j x j
1

Dans cette expression, xest un nombre réel quelconque, et x  a pour A1 et a  xb pour A2.

2-PROPRIETES DE LA TRANSFORMEE DE LAPLACE:
a)-Addition
La transformée de Laplace d’une somme de fonctions f1(t) et f2(t) est égale à la somme de leurs Transformées de Laplace. L  f 1  f 2   L  f1   L  f 2  b)- Multiplication par une constante L cf   c  L  f  c)- Linéarité Les propriétés d’addition et demultiplication par une constante lorsqu’elles sont combinées conduisent au fait que la transformée de Laplace est une transformation linéaire :

 n  n L ck  f k t ck L f k t   k 1  k 1



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Exemple : Déterminer la transformée de Laplace de la fonction f(t)=coswt. Celle-ci est obtenue en utilisant l’expression exponentielle.

e jt ejt f(t)  cos.t  2
En appliquant latransformée de Laplace et la propriété de linéarité, on a :

Lcos t   F s   L(

e jt  e  jt 2

)

1 1 s L(e jt )  L(e  jt )  2 2 2 s 2

d)- Dérivées : La dérivée première est obtenue par : La dérivée seconde : La dérivée troisième : L  f t  = s2 L  f t   s. f 0   f 0  = s 2Fs  s f 0 f 0 L f L  f t s L  f t  f 0 = sF(s)...
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