Nombres complexes

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Introduction historique n La notion de nombre complexe est li´e ` la r´solution des ´quations alg´briques ( e a e e e i=0 ai xi = 0). D`s e

que n est sup´rieur ` 2, on a du mal ` trouver les solutions par des calculs simples et surtout rationnels e a a (faisant intervenir des racines carr´es, cubiques, etc.). Les babyloniens, apparemment, savaient ramener e la r´solution des ´quations quadratiques et bicarr´es ( ´quations de degr´ 4 o` n’interviennent que des e e e e e u puissances paires) au calcul de racines carr´es que par ailleurs ils savaient extraire 1 . e L’antiquit´ (grecque) ne d´passera jamais ce stade mais la technique adopt´e par les babyloniens ne e e e satisfait pas les penseurs grecs qui souhaitent des m´thodes plus rigoureuses. On suppose, sans√ ˆtre e en e √ certain, que c’est ce manque de rigueur qui a pouss´ ces derniers ` vouloir montrer que 2 et 5 sont e a des irrationnels 2 . Influenc´s sans doute par leurs pr´occupations g´om´triques de constructions ` la r`gle et au compas, e e e e a e la r´solution des ´quations se limite, pour les grecs, ` celles que l’on peut interpr´ter comme intersection e e a e de droites et de cercles. Avec les indiens puis les arabes, l’extraction des racines carr´es devient une op´ration fondamentale. e e La th´orie de l’´quation du second degr´ va devenir pendant tout le moyen-ˆge le socle sur lequel vont e e e a s’appuyer les alg´bristes de toutes naionalit´s. On va essayer de calquer les m´thodes pour des degr´s e e e e sup´rieurs ` 2. e a Cardan remarque que les ´quations de degr´ 3 peuvent avoir 3 solutions et celles de degr´ 4, 4 solutions. e e e En particulier il parvient ` montrer que la somme des racines de x3 + bx = ax2 + c est toujours ´gale a e a ` a. Il s’enhardit ` calculer formellement sur des expressions contenant des racines carr´es de nombres a e n´gatifs, alors que la plupart de ses contemporains r´pugnent encore ` utiliser les nombres n´gatifs. e e a e √ √ 3 3