NOMBRES COMPLEXES • SUJET III lliillil

NOMBRES COMPLEXES • SUJET

T

*• 5. Prouver que OM = - DA . (0,5point)
(
6. On appelle J, K et L les milieux respectifs des segments [CD], [DA] et [AB]. On admet que le quadrilatère JKLM est un parallélogramme, démontrer que c'est un carré. (1 point)

-ia) = z -ti( I i

........

(|ui

nous

d onne

avec

a = 2 + i : (z-a)(z-ia) = z' (1+31)

( + 31,

soit : (z-a)(z- la) =f(z) . f(z) = 0 équivaut donc à : (z- a)(z un n c'est-à-dire à : z = a o u . 3 = i o c . Les deux solutions de l'équation f(z) = 0 soin d ..... 2+i et -1+21.

- Durée conseillée : 45 min. Les notions en jeu
- Module et argument d'un nombre complexe. - Applications géométriques des complexes.
PARTIE B

Les conseils du correcteur Partie B
> 2. Vous pouvez utiliser le fait que D est l'image de C par la rotation r de centre O et d'angle - et l'expression complexe de r. >• 4. Interprétez l'angle demandé en termes d'argument et utilisez la question 3. >• 5. Interprétez les distances en termes de modules et utilisez la question 3. *• 6. Vous pouvez utiliser la rotation r de centre O et d'angle = .

H. la=\(2 + l ) , donc la = 21- 1 , donc \a=b. l'irniinr nn'-lliodc : \l'\ \,i\ , donc. \h\ = a\ ,donc OA = OB. De plus : .iij-, (/;) = arg O),donc arg (£) = arg (i) + arg ( a ) , donc .ii|', (/;) = - + arg (a) ;
( i , ; < ) » ) = 5 + (2 ; Ô A ) , d'où ( O A ; Ô B ) = - .

Doiu It- iii.ui);!. OAB est un triangle isocèle rectangle en O tel que (OA';Oli) ".

Iti-n \II-IH,- iiii-ihiitlf :

C O R R I G E

^

Soii / l.i mi. m, m de centre O et d'angle - . L'expression complexe de r n PARTIE A

(.'si : /. ' ( >n .1 I' r , soit a = ^— l+i (l-i-

. < CM .Vdire z' = iz. \,i , doiu li = r (A) , ce qui signifie que le triangle OAB est un

irianj>lf isoiflf rciiangle en O tel que (ÔA ; OB) = - . H. OC(1 + i) = 1 + 3i équivaut à a = c'est-à-dire a =
2

* 2. Soii / / l ' . i l ï i x c du point D.
7 t . , - , donc d
. \c. ..