Correction Kepler
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DES LOIS DE KEPLER À L’ÉTUDE D’UN ASTÉROЇDE…1. En hommage à Kepler
1.1. Planètes en orbite elliptique
1.1.1. D’après la première loi de Kepler (loi des orbites), dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d’une planète est une ellipse dont le centre du Soleil est l’un des foyers. La figure 10 montre bien le
Soleil confondu avec le foyer F1.
1.1.2. D’après la deuxième loi de Kepler (loi des aires), le rayon vecteur SM balaie des surfaces égales pendant des durées égales. L’aire A1 est égale à l’aire A2.
M M'
1.1.3. Vitesse moyenne entre M2 et M’2 : v2 = 2 2
∆t
'
MM
Vitesse moyenne entre M1 et M’1 : v1 = 1 1 .
∆t
La distance M1M’1 est plus petite que la distance M2M’2, or ces distances sont parcourues pendant la même durée t. Donc v1 < v2, la vitesse moyenne entre les points M1 et M’1 est inférieure à celle entre les points
M2 et M’2.
1.2. Planètes en orbite circulaire
1.2.1. force de gravitation F3 exercée par le Soleil sur une
planète quelconque du système solaire de masse m
F3 M3 dont le centre d’inertie est situé au point M3.
point d’application : M3
a3 direction : (OM3)
O u sens : de M3 vers O
a4
m.M S
F3 = − G. u 1.2.2. r² M4
1.2.3. En appliquant la deuxième loi de Newton au système{planète}, dans héliocentrique le référentiel
F3 = m.a3 considéré galiléen, la seule force exercée sur la planète étant F3 :
m.M S
− G. u = m.a3 r²
M a3 = − G. S u
r ²
1.2.4. a3 et a4 sont des vecteurs de même valeur car G et MS sont constantes, de plus r = OM3 = OM4.
Voir figure ci-dessus.
1.2.5. Le vecteur accélération est radial (porté par le rayon r), centripète (de sens planète vers Soleil), de valeur constante donc le mouvement est circulaire uniforme.
1.2.6. La courbe représentative de T² en fonction de r3 est une droite passant par l’origine. Donc T² est
T²
proportionnelle à r3. Ceci est en accord avec la troisième loi de Kepler qui indique 3 = k avec k constante. r 3
35
3
1.2.7. On prend le