m193mica.dviCorrigé de la composition d’informatique-mathématiques
ENS - MP - 2019
1 Rappel et définitions préliminaires
1.1. L’énoncé aurait du rappeler le rôle des fonctions List.map et List.mem et parler de la fonction List.iter, utile pour les questions de programmation. Sans chercher à diminuer le temps de calcul de la vérification, nous utilisons l’analyse suivante :
• nous définissons une exception Pb qui sera déclenchée dès qu’un problème sera détecté ;
• nous stockons dans les piles sommets …afficher plus de contenu…

et on peut montrer facilement que la stratégie ((s1, s2)V , ψG) est gagnante.
5 Étude du cas de plusieurs gendarmes
5.1. Soit R un ensemble dominant. Si R = SG, on a bien |R| = |SG| ≥ d(G) ; sinon, on choisit u ∈ SG \R. On a :
R = (R \ VG(u)) ⊔ (R ∩ VG(u)) et VG(u) = (VG(u) \R) ⊔ (R ∩ VG(u)) donc |R| = |R \ VG(u)| + |R ∩ VG(u)| ≥ |VG(u) \R| + |R ∩ VG(u)| = |VG(u)| = d(u) ≥ d(G) en appliquant la proposition admise (on a bien VG(u) ⊂ V∗
G(R) = SG). Un ensemble dominant contient donc au moins d(G) sommets.
115.2. Si VG(v) ⊂ V∗
G(R), on peut reprendre le calcul précédent et obtenir |R| ≥ d(v) ≥ d(G), qui est absurde. On en déduit que VG(v) 6⊂ …afficher plus de contenu…

Les cycles de C5 sont donc tous de longueur 5 : C5 n’a ni 3-cycle, ni 4-cycle et est clairement 2-régulier. Enfin, on obtient un 3-coloriage en posant c(A1) = 0, c(A2) = 1, c(A3) = 0, c(A4) = 1 et c(A5) = 2.
5.7. Ce graphe est formé à partir de quatre copies G1, G2, G3, G4 disjointes de C5, dans lesquelles on a effectué des permutations des couleurs. Chaque sommet d’une copie est ensuite relié par une “arête extérieure” à une autre copie, en respectant une règle de couleur : tous les sommets d’une couleur fixée c1 d’une copie
Gi sont reliés à tous les sommets de la même couleur c2 d’une copie Gj (avec j 6= i et c2 6= c1). Ainsi, la coloration du graphe est correcte et il n’existe pas de 3-cycle ni de 4-cycle. En effet, comme les Gi