Durée : 4 heures

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie mars 2008 (spécialité)
E XERCICE 1 Commun à tous les candidats ANNEXE (à rendre avec la copie) 1. 7 5 points

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−1 On peut conjecturer que : – la suite est croissante ; – la suite converge vers 3. 2. a. x < 3 ⇐⇒ −3 < −x ⇐⇒ 6 − 3, < 6 − x ⇐⇒ 3 < 6 − x ⇐⇒ 9× 1 1 < ⇐⇒ 6−x 3

1 9 1 < 9 × ⇐⇒ < 3. 6−x 3 6−x On vient donc de démontrer que si x < 3, alors f (x) < 3. Par récurrence immédiatte : de U 0 < 3 et de U n < 3 entraîne U n+1 = f (U n ) < 3, on déduit aussitôt que U n < 3 pour tout entier naturel n.
2 9 − 6U n +U n (U n − 3)2 9 −U n = = . 6 −U n 6 −U n 6 −U n On vient de démontrer que U n < 3 < 6, donc le dénominateur est positif et le numérateur (carré) aussi. On a donc U n+1 −U n > 0 ⇐⇒ U n+1 > U n : la suite est croissante (strictement).

b. On a U n+1 −U n = f (U n ) −U n =

c. La suite (U n ) est croissante et majorée par 3 : elle converge vers une limite inférieure ou égale à 3.

Baccalauréat S

3. Soit la suite définie par Vn =

1 pour tout entier naturel n. Un − 3 1 1 1 1 − = 9 = − a. Calculons la différence Vn+1 −Vn = U n+1 − 3 U n − 3 6−U − 3 U n − 3 n 6 −U n 1 1 6 −U n 1 6 −U n 6 −U n − 3 − − = = − = = 9 − 18 + 3U n U n − 3 3U n − 9 U n − 3 3(U n − 3) U n − 3 3(U n − 3) 1 3 −U n = − . On vient donc de démontrer que la suite (Vn ) est une 3(U n − 3) 3 1 suite arithmétique de raison − . 3 1 1 b. On a V0 = =− . −3 − 3 6 1 2n + 1 1 2n On sait que Vn = V0 + n × − = − − =− . 3 6 6 6 −6 1 = . Or U n − 3 = Vn 2n + 1 −6 c. Comme lim = 0, lim U n − 3 = 0 et finalement n→+∞ 2n + 1 n→+∞ n→+∞ lim U n = 3.

E XERCICE 2 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

5 points

PARTIE A : Question de cours Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l’addition, la