1

Raisonner par récurrence

Pour reprendre contact
1 Avec un tableur
a. Pour n Œ ‫ގ‬, un =

3n - 1
3n + 1

b. Pour n Œ‫ގ‬, un +1 =

2un + 1 et u0 = - 1 un c. un +1 = 3un2 - ( n - 1) + 1 ; u0 = - 1 (n Œ‫)ގ‬
2 Calculs de termes d’une suite
a. u1 = - 3 ; u2 = - 2 ; u3 = 3

b. u1 = 5 ; u2 = 7 ; u3 = 11

c. u1 = 6 ; u2 = - 2 ; u3 = 6

d. u1 = 2 ; u2 = 7 ; u3 = 12

3 Listes incomplètes
1. a. 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729
2. a. Pour n Œ‫ގ‬, un = 3n

b. 0, 1, 3, 7, 15, 31, 63
b. Pour n Œ‫ގ‬, un = 2 n - 1

c. 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5 040
c. Pour n Œ‫ގ‬, un = 1 ¥ 2 ¥ 3 ¥ º ¥ n = n!

4 Jeu d’écriture
Pour n Œ‫ގ‬, un = 2n2 - n + 2 ; un -1 = 2n2 - 5n + 5 ; un + 2 = 2n2 + 7n + 8 ; u2 n = 8n2 - 2n + 2.
5 Suite et somme
1. u1 = 1 ; u2 =

5
49
;u =
.
4 3 36

2. Pour n ജ 1, un +1 - un =

1
.
( n + 1)2

3. Pour n ജ 1, un =

n

1

 k2 .

k =1

Activité 1. Des conjectures
A. 1.

2.

n

Cn

Sn

1

0

1

2

1

2

3

3

4

4

6

8

C5 = 10
S5 = 16

Chapitre 1. Raisonner par récurrence

1

3. Il semble que, pour n ജ 1, on ait : n (n - 1)
Cn =
2
Sn = 2 n -1.
On aurait :
C6 = 15, S6 = 32
On a :
C6 = 15 et S6 = 31.
La conjecture portant sur Cn semble se vérifier, celle portant sur Sn est par contre incorrecte.
B. Pour n Œ‫ގ‬, A(n) = n2 - n + 11.
1. Pour chaque valeur de n du tableau (0 ഛ n ഛ 10), le nombre A(n) ne semble que deux diviseurs à chaque fois : 1 et lui-même.
2. A(11) = 112 - 11 + 11 = 112.
Le nombre A(11) a quant à lui 3 diviseurs : 1, 11, 121 donc la conjoncture précédente est incorrecte.

Activité 2. D’une conjecture à une démonstration
1
1
1
1
+º+
;u =
+º+
1¥ 2
6 ¥ 7 7 1¥ 2
7¥8
1
1
1
+º+
+
.
2. Pour n ജ 1, un =
1¥ 2
( n - 1) ¥ n n ¥ ( n + 1) n 1
3. Pour n ജ 1, un = Â
.
(
¥
k k + 1) k =1 n 7
8
B. 1. a. Conjectures : u7 = ; u8 = ; un =
.
n +1
8
9
On ne peut pas être certain de ces résultats (activités précédentes).
6
1