Courbe bézier

Pages: 19 (4664 mots) Publié le: 20 mars 2013
Section technicien supérieur Cours de mathématiques

Chapitre 16

Courbes de Bézier

Les courbes de Bézier sont utilisées dans de très nombreuses applications : • commandes de machines numériques ; • programmes de dessin vectoriel (segments courbes) ; • polices True-type ; • morphing : déformation d’images. Le concept a été développé initialement dans le cadre de la construction automobileen France à partir des années 60, par des ingénieurs (Bézier chez Renault, de Casteljau chez Citroën) qui cherchaient à définir de la manière la plus concise les courbes des carrosseries.
Aymar de Saint-Seine Année scolaire 2011–2012

Cours de mathématiques

STS

1. I NTRODUCTION
1.1. Historique
Au début des années 60, les machines numériques ne savaient usiner de façon précise que descourbes simples comme des paraboles ou des ellipses. Une seconde catégorie d’objets, au contraire, offrait une forme a priori peu précise, déterminée expérimentalement. Les hélices d’avions, les coques de bateaux et les carrosseries de voitures étaient tracées à main levée, sans que l’on puisse décrire leurs formes par une formule mathématique. Pierre Bézier, ingénieur français diplômé duConservatoire national des arts et métiers, poursuivait, une carrière à la Régie Renault, atteignant le poste de directeur des méthodes mécaniques. Les machines à commande numérique de cette époque offraient une programmation limitée. Il fallait les alimenter avec des nombres, ce que l’on savait faire pour des déplacements élémentaires comme des droites, des arcs de cercle, et à la rigueur des ellipses.Mais il n’était pas question de programmer des courbes quelconques, tracées à la main, faute d’une définition numérique de celles-ci. Pierre Bézier chercha donc comment traduire mathématiquement une courbe, puis une surface, dessinées à main levée. Il lui fallait concevoir un système capable de gérer des courbes gauches, c’est-à-dire de manipuler des surfaces en 3D, d’où la nécessité de définir unmodèle mathématique qui ne soit pas limité à des courbes en deux dimensions. Enfin, l’ingénieur entendait inventer un système complet pour créer un objet en volume à partir d’un dessin, le tout avec une rapidité d’exécution suffisante, et compréhensible intuitivement. Mais ses recherches n’étaient pas entièrement originales. Dès 1958, un mathématicien employé par Citroen, Paul de Casteljau, s’étaitattaqué au même problème. Paul de Casteljau était chargé de numériser une courbe, une fois celle-ci tracée, sans se poser la question d’une correction a posteriori. Il définissait ses courbes comme caractérisées par des pôles, d’une façon nettement moins parlante que les points de contrôle de Bézier. L’aventure de Pierre Bézier aurait pu s’arrêter là. Mais un groupe de développeurs liés à Apple créa unlangage adapté à la future imprimante laser conçue pour le Mac. Il s’agissait de trouver un moyen de définir mathématiquement une courbe, comme le tracé d’un caractère, avant de l’envoyer à l’imprimante. L’un de ces développeurs connaissait le travail du Français. Tout naturellement, il choisit les courbes de Bézier comme base du langage PostScript et fonda la société Adobe. Microsoft adopta à sontour les polices true-type à partir de Windows 3.1. Ces polices utilisent les courbes de Bézier pour définir les caractères aux formes arrondies.

1.2. Exemples progressifs de courbes de Bézier
1.2.i) Courbe de Bézier de degré 1 On considère deux points A et B et soit M(t) le barycentre de (A, 1 − t)(B, t). • si t = 0 alors M est en A ; 1

Chapitre 16

Courbes de Bézier

• si t = 0, 5alors M est au milieu de [AB] ; • si t = 1 alors M est en B. Quand t parcourt l’intervalle [0, 1], il est clair que le point M(t) décrit tout le segment [AB].

A
Définition 1 :

M(t)

B

Le segment [AB] est la courbe de Bézier de degré 1 avec points de contrôle A et B. Les polynômes 1 − t et t sont les polynômes ou poids de Bernstein de degré 1.

1.2.ii) Courbe de Bézier de degré 2...
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