´
Universite Paul Sabatier
L1 SV

2013-2014

Notes de cours de math´matiques e 1
1.1

Probabilit´s e Quelques rappels

Une exp´rience al´atoire est une exp´rience dont le r´sultat est soumis au hasard. On e e e e lui associe l’ensemble fondamental Ω form´ de tous les r´sultats possibles de l’exp´rience e e e al´atoire. L’ensemble Ω peut ˆtre fini ou infini. e e
Un ´v´nement A est une partie (sous-ensemble) de Ω (A ⊂ Ω). Un ´v´nement ´l´mentaire e e e e ee est un singleton {ω} de Ω (ω ∈ Ω). Notons les deux ´v´nements particuliers : Ω est l’´v´nement e e e e certain et ∅ est l’´v´nement impossible. e e
Si A ⊂ Ω et B ⊂ Ω sont des ´v´nements, on note e e
• A ∪ B : l’´v´nement A ou B est r´alis´ e e e e
• A ∩ B : les ´v´nements A et B sont r´alis´s e e e e e e e e
• A : l’´v´nement A n’est pas r´alis´
Il existe une d´finition math´matique de la notion de probabilit´ que nous ne donnerons e e e pas. Intuitivement, la probabilit´ d’un ´v´nement A (not´e ici P r(A)) est la mesure de la place e e e e qu’il occupe dans Ω. Il est alors clair que P r(A) ∈ [0 ; 1].
On a bien entendu P r(∅) = 0 et P r(Ω) = 1 mais attention, si P r(A) = 0 alors A n’est pas forc´ment ´gal ` ∅ (c’est-`-dire, A n’est pas forc´ment impossible). e e a a e On a les propri´t´s ee • A ⊂ B =⇒ P r(A) ≤ P r(B)
• P r(A) = 1 − P r(A)
• P r(A) = P r(A ∩ B) + P r(A ∩ B)
• P r(A ∪ B) = P r(A) + P r(B) − P r(A ∩ B)
• A ∩ B = ∅ (A et B incompatibles) =⇒ P r(A ∪ B) = P r(A) + P r(B)
Remarque 1 Si Ω est un ensemble fini et si tous les ´v´nements ´l´mentaires ont la mˆme e e ee e probabilit´ (1/Card(Ω)) on a alors, pour tout ´v´nement A : e e e
P r(A) =

1.2

Card(A) nombre de cas favorables
=
.
Card(Ω)
nombre de cas possibles

Probabilit´s conditionnelles e On consid`re deux ´v´nements A et B. La probabilit´ conditionnelle de A sachant B e e e e P r(A ∩ B) est d´finie par : P r(A|B) = e .
P r(B)
P r(B)
On a : P r(B|B) =