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✓ Exo7 ✓
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Année 2014

Exercices de mathématiques
Exercice 1.
1. Démontrer que si r ∈ Q et x ∈
/ Q alors r + x ∈
/ Q et si r = 0 alors r.x ∈
/ Q.
√
2. Montrer que 2 ∈ Q,
3. En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. Indications 1.

1. Raisonner par l’absurde.
√
2. Raisonner par l’absurde en écrivant 2 = pq avec p et q premiers entre eux. Ensuite plusieurs méthodes sont possibles par exemple essayer de montrer que p et q sont tous les deux pairs.
√

3. Considérer r + 22 (r −r) (faites un dessin !) pour deux rationnels r, r .
Puis utiliser les deux questions précédentes.
1. Soit r =

Correction 1.

p q ∈ Q et x ∈
/ Q. Par l’absurde supposons

que r + x ∈ Q alors il existe deux entiers p , q tels que r + x =
Donc x =

p q −

p q =

qp −pq qq p q .

∈ Q ce qui est absurde car x ∈
/ Q.

De la même façon si r · x ∈ Q alors r · x = est absurde.

p q Et donc x =

p q q p.

Ce qui

√
2. Méthode “classique”. Supposons,
√ par pl’absurde, que 2 ∈ Q alors il existe deux entiers p, q tels que 2 = q . De plus nous pouvons supposer que la fraction est irréductible (p et q sont premiers entre eux). En élevant l’égalité au carré nous obtenons q 2 × 2 = p2 . Donc p2 est un nombre pair, cela implique que p est un nombre pair (si vous n’êtes pas convaincu écrivez la contraposée “p impair ⇒ p2 impair”). Donc p = 2 × p avec p ∈ N, d’où p2 = 4 × p 2 . Nous obtenons q 2 = 2 × p 2 .
Nous en déduisons maintenant que q 2 est pair et comme ci-dessus que q est pair. Nous obtenons ainsi une contradiction car p et q étant tous les deux pairs la fraction pq n’est pas irréductible et aurait pu être
√
simplifiée. Donc 2 ∈
/ Q.
√
√
Autre méthode. Supposons par l’absurde que 2 ∈ Q. Alors 2 = pq
√
pour deux entiers p, q ∈ N∗ . Alors nous avons q · 2 ∈ N. Considérons l’ensemble suivant :
√
N = n ∈ N∗ | n · 2 ∈ N .
Cet ensemble N est une partie de N∗ qui est non vide car q ∈ N .
On peut alors prendre le plus petit élément de N : n0 = min N .
1