cours de proba

Pages: 29 (7003 mots) Publié le: 24 juillet 2014
Table des mati`res
e
1 Mesures
1.1 Tribus . . . . . . . .
1.2 Fonctions mesurables
1.3 Classe monotone . .
1.4 Mesures . . . . . . .

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4 Ind´pendance
e
4.1 Ind´pendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
4.2 Vecteurs Gaussiens . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .

12
12
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5 Convergence de suites de variables al´atoires
e
5.1 Convergence presque sˆre . . . . . . . . . . .
u
5.2 Convergence en probabilit´ . . . . . . . . . . .
e
p
5.3 Convergence dans L . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Lois faible et forte . . . . . . . . . . . . . . . .

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15
15
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6 Probabilit´s et esp´rances conditionnelles
e
e
6.1 Conditionnement discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Conditionnement g´n´ral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e e
6.3 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Int´gration
e
2.1 Int´gration des fonctions positives . . . . . .
e
2.2 Int´gration des fonctions quelconques . . . .
e
2.3 Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Int´gration par rapport a une mesure image
e
`
p
2.5 Espaces L . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Mesures de probabilit´
e
3.1 D´finitions . . . . . . . . .
e
3.2 Vecteurs al´atoires . . . .
e
3.3 Moyennes et in´galit´s . .
e
e
3.4 Fonctions caract´ristiques
e

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7 Martingales
7.1 G´n´ralit´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e e
e

1

21
21

Mesures

1.1

Tribus

Dans la suite Ω d´signe un ensemble.
e
D´finition 1 Un sous ensemble C de P(Ω) est une alg`bre (de Boole) sur Ωsi
e
e
1. Ω ∈ C
2. C est stable par compl´mentaire.
e
3. C est stable par r´union finie.
e
D´finition 2 Un sous ensemble A de P(Ω) est une tribu ( ou σ-alg`bre) sur Ω si
e
e
1. Ω ∈ A
2. A est stable par compl´mentaire.
e
3. A est stable par r´union d´nombrable.
e
e
Le couple (Ω, A) sera appel´ un espace mesurable. Les ´l´ments de A sont appel´s
e
ee
e
ensembles mesurables.D´finition 3 Soit E un sous ensemble de P(Ω).
e
1. L’alg`bre C(E) engendr´e par E est l’intersection de toutes les alg`bres sur Ω contee
e
e
nants E.
2. La tribue σ(Ω) engendr´e par E est l’intersection de toutes les tribus sur Ω contenants
e
E.
D´finition 4 Soient (Ω1 , A1 ) et (Ω2 , A2 ) deux espaces meusrables. On appelle pav´ de
e
e
Ω = Ω1 × Ω2 tout ensemble A1 × A2 , o` A1 ∈ A1 et A2...
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