Université Mentouri Constantine
Département de Mathématique
Ecole Doctorale de Mathématique

"Lois normales multidimentionnelles"
Dr. Meghlaoui Dakhmouche

Table des matières
1 Introduction
1.1 Loi de Gauss à une dimension .
1.1.1 Propriétés . . . . . . . .
1.1.2 Moments particuliers . .
1.1.3 Fonction caractéristique
1.1.4 Loi normale quelconque

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

2 Lois de Gauss bidimensionnelles
2.1 Loi de Gauss bidimensionnelle centrée . . . . . . . . . . .
2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Lois marginales des variables aléatoires X1 et X2
2.2.2 Covariance entre X1 et X2 . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Matrice de covariances du couple (X1 ; X2 ) . . . .
2.3 Loi gaussienne bidimensionnelle centrée et réduite . . . .
2.4 Lois gaussiennes conditionnelles . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Lois gaussiennes bidimensionnelles quelconques . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

2
2
3
3
4
5

.
.
.
.
.
.
.
.

7
7
9
10
11
12
12
14
15

3 Lois de Gauss de dimension p
16
3.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Régression et prédiction dans les
4.1 Cas bidiemensionnel . . . . . .
4.1.1 Principe de régression .
4.1.2 Commentaire 1 . . . . .
4.1.3 Commentaire 2 . . . . .
4.2 Cas de dimension p . . . . . . .

espaces gaussiens
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .

5 Exemple : Loi des vitesses de Maxwell
1

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

23
23
24
24
26
27
28

6 Exercices
6.1 Exercice1
6.2 Exercice2
6.3 Exercice3
6.4 Exercice4
6.5 Exercice5
6.6 Exercice6
6.7 Exercice7

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

2