Cours Page 1 A 26

Pages: 26 (14390 mots) Publié le: 8 avril 2015
Universit´
e de Toulouse 1

Ann´
ee 2011-2012

Math´
ematiques (Rappels)

Licence Eco. Gestion et Droit, L1

(M. Latourelle, C. Lobert et A. Sourisse)

Ces notes sont bas´ees sur les notes de cours du module
“Math´ematiques (Rappels)” (LEG1S1) ´ecrites par J.P. Bourgade, C. Lobert et A. Sourisse l’ann´ee derni`ere.

Plan du cours
I Fonctions usuelles
II Limites
III D´erivation
IV Calculint´egral
V D´eveloppements limit´es
VI Convexit´e
VII Application `
a la recherche d’extrema
VIII Application aux suites r´ecurrentes

Contenu et motivation
Les fonctions de la variable r´eelle pr´esentent un int´erˆet
en soi (richesse et vari´et´e propres `
a la notion math´ematique
de fonction), en tant qu’instruments de mod´elisation de
nombreux ph´enom`enes en physique, ´economie, etc., mais´egalement en tant qu’outils math´ematiques interm´ediaires
dans la r´esolution de probl`emes issus de la mod´elisation
math´ematique de ph´enom`enes physiques, ´economiques, etc.
Ainsi, la d´etermination d’´equilibres ´economiques peut passer
par la recherche d’un optimum (maximum de gain, minimum
de coˆ
ut, etc.) : cela se traduit math´ematiquement par la recherche des extrema d’une fonction (quimod´elise le gain, le
coˆ
ut, etc.) (Partie vii).
Si plusieurs param`etres sont `
a prendre en compte simultan´ement (par exemple si le coˆ
ut d’une op´eration d´epend
de deux ou plusieurs facteurs), on est amen´e `
a ´etudier des
fonctions de deux ou plusieurs variables (une pour chaque
facteur qui influe sur le coˆ
ut) et `
a chercher une valeur du
couple (facteur1,facteur2) qui minimise la fonctioncoˆ
ut (Partie vii). Le probl`eme est plus d´elicat lorsque plusieurs facteurs
sont pris en compte, mais beaucoup d’arguments reposent sur
l’´etude pr´ealable de l’optimisation des fonctions d’une variable
r´eelle - d’o`
u l’int´erˆet de d´etailler d’abord le cas de ces fonctions.
D’autres ph´enom`enes, comme l’´evolution temporelle de certaines quantit´es (quantit´e de mati`ere premi`eredisponible en
fonction des demandes et de la production `
a chaque instant),
peuvent ˆetre mod´elis´ees au moyen de suites r´eelles. Si on note
qn la quantit´e `
a l’instant n (n peut ainsi d´esigner l’ann´ee ou
le mois consid´er´e), l’objectif est de savoir pr´edire la valeur
exacte de qn pour quelques valeurs de n (si l’on s’int´eresse `a
de la prospective `
a cours terme), pour toutes les valeurs de
n(id´ealement : mais ce n’est pas toujours possible), ou au
moins d’avoir une connaissance asymptotique de la valeur de
qn pour de grandes valeurs de n (en vue de pr´evoir l’´evolution
a` long terme de la quantit´e concern´ee ; la limite n ! +1 de
qn donne une indication de cette ´evolution). Dans une large
classe de ph´enom`enes mod´elis´es par des suites r´eelles, la valeur
a` l’instant n de laquantit´e qn d´epend de la valeur `
a l’instant
pr´ec´edent, qn 1 , voire aux deux instants pr´ec´edents, qn 1 et

Note de cours no 1

qn 2 . Ainsi, on a : qn = f (qn 1 ) ou qn = g(qn 1 , qn 2 ), o`
u la
fonction f est une fonction d’une variable alors que la fonction g est une fonction de deux variables. On peut imaginer
alors l’int´erˆet que repr´esente l’´etude des fonctions d’une ou
deuxvariables pour l’´etude des suites de ce type (dites suites
r´ecurrentes) (Partie viii).
Dans ces di↵´erentes tˆaches, la recherche d’extrema est un
point central. Le cas le plus simple est celui des fonctions
tr`es r´eguli`eres, pour lesquelles on peut esp´erer d´eterminer les
extrema en cherchant les points o`
u leur courbe admet une
tangente horizontale (au sommet d’une colline, le sol estlocalement horizontal, de mˆeme qu’au creux d’une cuvette), c’est`a-dire les points o`
u leur d´eriv´ee s’annule. Il est donc particuli`erement important de savoir traˆıter ce cas pr´ecis, et donc
de bien maˆıtriser l’outil fondamental qu’est l’op´eration de
d´erivation (Partie IV). La d´erivation ´etant elle-mˆeme un produit d´eriv´e du calcul de limites, il est n´ecessaire de poss´eder
une bonne...
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