Cours probabilité

Pages: 66 (16465 mots) Publié le: 1 août 2013
2.5. Lois usuelles

1

Exemple. On lance n fois de suite une pièce déséquilibrée dont la probabilité d’apparition de Pile à chaque lancer est p. En notant X la somme des résultats Xi obtenus (Face valant 0 et Pile valant 1 comme ci-dessus), X représente donc simplement le nombre de Pile sur les n lancers et on a X ∼ B(n, p). Proposition 2.9 (Moments d’une loi binomiale) Si X suit une loibinomiale de paramètres (n, p), alors : E[X] = np & Var(X) = np(1 − p) = npq.

Autrement dit, la somme de 2 variables binomiales indépendantes et de même paramètre p suit elle aussi une loi binomiale de paramètre p (voir le corrigé de l’exercice 2.9).

Le lien Bernoulli-Binomiale rend ces formules élémentaires : l’espérance est linéaire dans tous les cas et la variance l’est ici puisque lesvariables X1 , . . . , Xn sont indépendantes. La propriété suivante découle d’ailleurs du même raisonnement :  X ∼ B(n, p)  Y ∼ B(m, p) ⇒ X + Y ∼ B(n + m, p).  X⊥ Y ⊥

Figure 2.6 – Exemples de lois binomiales. A gauche : X ∼ B(10, 1/2). A droite : Y ∼ B(90, 1/6). Exemples : 1. On lance 10 fois de suite une pièce équilibrée et on note X le nombre de Pile obtenus. On a vu que X ∼ B(10, 1/2). Lenombre moyen de Pile est donc naturellement E[X] = 5 et √ l’écart-type vaut σ(X) = 2.5. La loi de X est illustrée figure 2.6 à gauche. 2. On lance 90 fois de suite un dé non pipé et on note Y le nombre de 4 obtenus. Dans √ cas ce Y ∼ B(90, 1/6). Le nombre moyen de 4 est donc E[Y ] = 15 et l’écart-type vaut σ(Y ) = 12.5. La loi de Y est illustrée figure 2.6 à droite. Le Théorème Central Limite expliquepourquoi on obtient une forme de courbe “en cloche” typique de la loi normale (cf. fin de Chapitre 3).

2.5.4

Loi géométrique

La loi géométrique est la loi typique du temps d’attente avant apparition d’un certain événement. Définition 2.13 (Loi géométrique) On dit que X suit une loi géométrique de paramètre p ∈]0, 1[, noté X ∼ G(p), si X est à valeurs dans Æ∗ avec : È(X = n) = p(1 − p)n−1 = pqn−1 . ∀n ∈ Æ∗

2

Chapitre 2. Variables aléatoires discrètes
Le nom de cette loi vient bien sûr du fait que la suite (È(X = n))n≥1 est géométrique de raison (1 − p). Il ne faut donc pas confondre paramètre p de la loi G(p) et raison (1 − p) de la suite (È(X = n))n≥1 . Exemple. On lance un dé équilibré et on appelle X l’indice de la première apparition du numéro 5. La propriété de continuitémonotone décroissante permet de montrer que la probabilité que 5 n’apparaisse jamais est nulle, donc on exclut sans vergogne cette éventualité. Ceci fait, la variable aléatoire X prend ses valeurs dans Æ∗ , avec : ∀n ∈ Æ∗

È(X = n) =

1 6

5 6

n−1

,

c’est-à-dire que X ∼ G(1/6). Cet exemple est typique de la loi géométrique : on répète une expérience jusqu’à la réalisation d’unévénement dont la probabilité de réalisation à chaque coup est fixée et égale à p. Proposition 2.10 (Moments d’une loi géométrique) Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors : E[X] = 1 p
& Var(X) = 1−p q = 2. p2 p

Preuve. Pour l’espérance, voir le corrigé de l’exercice 2.11. Disons simplement qu’elle est basée sur le développement en série entière suivant :
+∞

∀x ∈] − 1, +1[

nxn−1 =n=1

1 . (1 − x)2

Le calcul de la variance est lui-même basé sur la dérivation terme à terme de ce développement :
+∞

∀x ∈] − 1, +1[

n=1

n(n − 1)xn−2 =

2 , (1 − x)3

ainsi que sur l’astuce déjà vue consistant à écrire E[X 2 ] = E[X(X − 1)] + E[X], ce qui donne ici :
+∞ +∞

E[X(X − 1)] = d’où :

n=1

n(n − 1)pq n−1 = pq

n=1

n(n − 1)q n−2 ,

E[X(X − 1)] =

etpar suite : Var(X) = E[X(X − 1)] + E[X] − E[X]2 =
Exemples :

2pq 2q = 2, 3 (1 − q) p
q . p2

1. Dans l’expérience du lancer de dé, le nombre moyen de √ lancers nécessaires pour voir apparaître le numéro 5 est E[X] = 6. L’écart-type est σ(X) = 30 ≈ 5, 5. La loi de X est illustrée figure 2.7 à gauche.
2. On lance une pièce équilibrée et on note Y l’indice de la première apparition de Pile....
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