2.5. Lois usuelles

1

Exemple. On lance n fois de suite une pièce déséquilibrée dont la probabilité d’apparition de Pile à chaque lancer est p. En notant X la somme des résultats Xi obtenus (Face valant 0 et Pile valant 1 comme ci-dessus), X représente donc simplement le nombre de Pile sur les n lancers et on a X ∼ B(n, p). Proposition 2.9 (Moments d’une loi binomiale) Si X suit une loi binomiale de paramètres (n, p), alors : E[X] = np & Var(X) = np(1 − p) = npq.

Autrement dit, la somme de 2 variables binomiales indépendantes et de même paramètre p suit elle aussi une loi binomiale de paramètre p (voir le corrigé de l’exercice 2.9).

Le lien Bernoulli-Binomiale rend ces formules élémentaires : l’espérance est linéaire dans tous les cas et la variance l’est ici puisque les variables X1 , . . . , Xn sont indépendantes. La propriété suivante découle d’ailleurs du même raisonnement :  X ∼ B(n, p)  Y ∼ B(m, p) ⇒ X + Y ∼ B(n + m, p).  X⊥ Y ⊥

Figure 2.6 – Exemples de lois binomiales. A gauche : X ∼ B(10, 1/2). A droite : Y ∼ B(90, 1/6). Exemples : 1. On lance 10 fois de suite une pièce équilibrée et on note X le nombre de Pile obtenus. On a vu que X ∼ B(10, 1/2). Le nombre moyen de Pile est donc naturellement E[X] = 5 et √ l’écart-type vaut σ(X) = 2.5. La loi de X est illustrée figure 2.6 à gauche. 2. On lance 90 fois de suite un dé non pipé et on note Y le nombre de 4 obtenus. Dans √ cas ce Y ∼ B(90, 1/6). Le nombre moyen de 4 est donc E[Y ] = 15 et l’écart-type vaut σ(Y ) = 12.5. La loi de Y est illustrée figure 2.6 à droite. Le Théorème Central Limite explique pourquoi on obtient une forme de courbe “en cloche” typique de la loi normale (cf. fin de Chapitre 3).

2.5.4

Loi géométrique

La loi géométrique est la loi typique du temps d’attente avant apparition d’un certain événement. Définition 2.13 (Loi géométrique) On dit que X suit une loi géométrique de paramètre p ∈]0, 1[, noté X ∼ G(p), si X est à valeurs dans Æ∗ avec : È(X = n) = p(1 − p)n−1 = pq