Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD

Enoncés

1
[ 02131 ]

Polynôme en une indéterminée
L'anneau des polynômes
Exercice 1
Résoudre les équations suivantes : a) Q2 = XP 2 d'inconnues P, Q ∈ K [X] b) P ◦ P = P d'inconnue P ∈ K [X].
[ 02127 ]

Exercice 7 X MP

Déterminer dans K [X] tous les polynômes divisibles par leur polynôme dérivé.

Exercice 8

[ 02132 ]

Soit P ∈ K [X]. Montrer que P (X + 1) =

+∞ n=0

1 (n) (X). n! P

Arithmétique des polynômes
Exercice 9
2

Exercice 2 Mines-Ponts MP

Trouver les P ∈ R [X] tels que P (X ) = (X + 1)P (X).

[ 02674 ]
2

Montrer les divisibilités suivantes et déterminer les quotients correspondant : a) X − 1 | X 3 − 2X 2 + 3X − 2 b) X − 2 | X 3 − 3X 2 + 3X − 2 c) X + 1 | X 3 + 3X 2 − 2.

[ 02133 ]

Exercice 3

a) Pour n ∈ N, développer le polynôme

[ 02377 ]

(1 + X)(1 + X 2 )(1 + X 4 ) . . . (1 + X 2 )
b) En déduire que tout entier p > 0 s'écrit de façon unique comme somme de puissance de 2 : 1, 2, 4, 8, . . .

n

Exercice 10
Soit P = n k=0

[ 02134 ]

ak X k ∈ K [X].

a) Montrer que P − X divise P ◦ P − P . b) En déduire que P − X divise P ◦ P − X .

Exercice 4 X MP

Soit P ∈ C [X] non constant et tel que P (0) = 1. Montrer que :

[ 00271 ]

Exercice 11

Soit A, B ∈ K [X] tels que A2 | B 2 . Montrer que A | B .

[ 02135 ]

∀ε > 0, ∃z ∈ C, |z| < ε et |P (z)| < 1

Dérivation
Exercice 5
Résoudre les équations suivantes : a) P 2 = 4P d'inconnue P ∈ K [X] b) (X 2 + 1)P − 6P = 0 d'inconnue P ∈ K [X].
[ 02129 ]

Soit A, B ∈ K [X] non constants et premiers entre eux. 2 Montrer qu'il existe un unique couple (U, V ) ∈ K [X] tel que AU + BV = 1 et deg U < deg B . deg V < deg A

Exercice 12

[ 02136 ]

Montrer que pour tout entier naturel n, il existe un unique polynôme Pn ∈ R [X] tel que Pn − Pn = X n . Exprimer les coecients de Pn à l'aide de nombres factoriels.

Exercice 6

[ 02130 ]

2 Soit (A, B) ∈ K [X] non nuls. Montrer