CHAPITRE 2
SÉRIES ENTIÈRES

2.1

Séries entières

Définition 2.1.1 On appelle série entière toute série de fonctions fn dont le n terme général est de la forme fn (x) = an x , où (an )n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R.
Une série entière est notée l’ensemble ;

an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche





x∈R:
∆=



∞ n=0 



. an xn converge



C’est le domaine de convergence de la série entière.
Exemple 1.
∞
xn
.
n! n=0 xn et appliquons le critère de D’Alembert ;
Posons fn (x) = n! fn+1 (x) x lim
= 0. La série entière est absolument convergente pour tout
= lim n−→∞ n−→∞ n + 1 fn (x) x ∈ R ; donc ∆ = R.
Exemple 2.
∞
xn
.
2 n n=1 fn+1 (x) xn n 2
Posons fn (x) = 2 on a : lim
= lim x = |x|. n−→∞ n−→∞ n + 1 n fn (x)
Si |x| < 1, la série est absolument convergente et si |x| > 1 la série diverge.
Etudions le cas où |x| = 1.
∞
|x|n xn 1 on a fn (x) = 2 = 2 · La série est alors absolument convergente dans [−1, 1] ; n n n2 n=0 et alors ∆ = [−1, 1]
Exemple 3.
23

∞

n!xn .

n=0

Cette série ne converge que si x = 0 car lim

n−→∞

fn+1 (x)
= lim |(n+1)x| et la limite n’existe n−→∞ fn (x)

que si x = 0 : d’où : ∆ = {0}.
Exemple 4.
∞
xn
.
n n=1 fn+1 (x) n xn on a lim
= lim x = |x|. Si |x| < 1, la série est
Posons fn (x) = n−→∞ n−→∞ n + 1 n fn (x) absolument convergente et si |x| > 1 la série diverge.
Etudions le cas où |x| = 1.
1
x = 1 : c’est la série harmonique
, elle est divergente. n (−1)n
, elle est convergente. x = −1 : c’est la série harmonique alternée n D’où : ∆ = [−1, 1[.

Lemme 2.1.1 (Lemme d’Abel)
Soit
an xn une série entière. On suppose qu’il existe x0 ∈ R tel que la suite (an xn0 ) soit bornée. Alors :
1. La série

an xn est absolument convergente pour |x| < |x0 |.

2. La série an xn est normalement convergente pour |x| < r, et pour tout r tel que 0 < r < |x0 |.
Preuve.
La suite (an xn0 ) est bornée, il existe M > 0 tel que ∀n ∈ N |an xn0 | ≤ M .
1.) Pour |x| < |x0 | :
∞
n an xn0 xn x n x n n x
|an xn | =
≤
M
·
La
série