Concours CCP 2004
Epreuve sp´cifique - Fili`re PC e e

MATHEMATIQUES 2
Dur´e : 4 heures e

Les calculatrices sont interdites **** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance ` la clart´, a e a ` la pr´cision et ` la concision de la r´daction. e a e Si un candidat est amen´ ` rep´rer ce qui peut lui sembler ˆtre une erreur d’´nonc´, ea e e e e il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a ´t´ amen´ ` prendre. ee ea **** La partie II peut ˆtre trait´e ind´pendamment des parties I et III. e e e

Partie I
+∞

On consid`re la s´rie enti`re e e e n=1 n−s z n de la variable complexe z, o` s est un nombre u

r´el donn´. e e I.1 D´terminer le rayon de convergence de cette s´rie enti`re. e e e I.2 Dans cette question, z = eiθ d´signe un nombre complexe de module 1. e
+∞

I.2.1 Etudiez la convergence de cas o` s ≤ 0. u n=1 n−s z n dans le cas o` s > 1 ainsi que dans le u

+∞

I.2.2 Dans le cas o` 0 < s ≤ 1, ´tudier la convergence de u e n=1 n

n−s z n pour z = 1.

I.2.3 Toujours dans le cas o` 0 < s ≤ 1, on suppose que z = 1. On pose S0 = 0 u et pour tout nombre entier n ∈ N , Sn = k=1 ∗

zk . . θ sin 2 pour tout nombre entier k ∈ N, 1

Montrer que |Sn | ≤ M (θ) pour tout n ∈ N, avec M (θ) = En ´crivant z k sous la forme Sk − Sk−1 e montrer que : n n−1

∀n ∈ N , k=1 ∗

k

−s

z = k=1 k

Sk [k −s − (k + 1)−s ] + Sn n−s .

1

+∞

Montrer que la s´rie e n=1 +∞

Sn [n−s − (n + 1)−s ] est convergente et en d´duire que la s´rie e e

n−s z n est convergente. n=1 +∞

Nous noterons dor´navant ϕ(z, s) la somme e n=1 n−s z n pour tout couple (z, s) ∈ C × R

pour lequel cette s´rie est convergente. e I.3 On note I l’intervalle ouvert ] − 1, 1 [ de R. x I.3.1 Montrer que pour tout (x, s) ∈ I × R on a ϕ(x, s + 1) =
0

ϕ(t, s) dt. t

I.3.2 Calculer ϕ(x, 0) et ϕ(x, 1) pour tout x ∈ I. I.4 On suppose dans cete question que s > 1.