Tale S1
DS 5 - Correction

Exercice 1

5 points

1. (a) Soit la fonction g dérivable, dénie sur [0 ; +∞[ par g(x) = x e − 1. g (x) = 2xex + x2 ex = x(x + 2)ex
Puisque x ∈ [0 ; +∞[, alors g (x) 0 (nulle seulement en 0) et donc g est strictement croissante sur [0 ; +∞[
(b) g(0) = −1 et lim x2 = lim ex = +∞ donc lim g(x) = +∞
2 x

x→+∞

x→+∞

x→+∞

g est une fonction continue (car dérivable) sur [0 ; +∞[ ; l'ensemble des images g(x) est l'intervalle [−1 ; +∞[ et 0 ∈ [−1 ; +∞[ ;

donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel a appartenant à [0 ; +∞[ tel que g(a) = 0 (c'est à dire que 0 possède au moins un antécédent)
De plus, g est strictement croissante sur [0 ; +∞[ donc cet antécédent a est unique.
De même, un calcul machine montre que g(0, 703) ≈ −0, 002 < 0 et que g(0, 704) ≈ 0, 002 > 0 ; donc : 0, 703 < a < 0, 704

(c) Sur [0 ; +∞[, puisque g est strictement croissante : si x < a alors g(x) < g(a) ⇔ g(x) < 0 et si x > a alors g(x) > g(a) ⇔ g(x) > 0
On en déduit :

x
0
g(x)

−

a
0 +

+∞
1
x

2. Soit f la fonction dérivable, dénie sur l'intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) = ex + .
(a) • lim ex = 1 et lim x→0 •

x→0 x>0 1
= +∞ donc lim f (x) = +∞ x→0 x x>0 lim ex = +∞ et lim

x→+∞

x→+∞

1
= 0 donc : x lim f (x) = +∞

x→+∞

(b) On note f la fonction dérivée de f sur l'intervalle ]0 ; +∞[. ex × x2 − 1 g(x)
1
= 2 .
∀x ∈]0 ; +∞[, f (x) = ex − 2 =
2
x

x

x

(c) Puisque sur ]0 ; +∞[, x2 > 0 alors f a le signe de g ; on en déduit : x 0 f (x) ||
|| + ∞ f ||
||

−

a
0

+∞
+
+∞

f (a)
1
a

(d) D'après ce qui précède, la fonction f admet pour minimum f (a) = ea + ; or g(a) = 0 ⇔ a2 ea − 1 = 0 ⇔ ea =
1
1
1
1
+ c'est à dire : m = 2 + .
2
a a a a (e) On a vu : 0, 703 < a < 0, 704
1
1 donc comme x → et x → 2 sont des fonctions strictement décroissantes sur ]0 ; +∞[ alors : x x
1
1
1
1
1
1
< < et < 2 <
2
0, 704