Demonstration du theoreme de ptolémée

Pages: 2 (375 mots) Publié le: 1 janvier 2012
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Théorème de Ptolémée
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Figure du théorème de Ptolémée.
Le théorème de Ptolémée est un théorème de géométrieeuclidienne portant sur les diagonales d'unquadrilatère. L'implication directe est attribuée à l'astronome et mathématicien grec Ptolémée, dont il se servit pour ses calculs liés à l'astronomie.Sommaire  [masquer]  * 1 Énoncé * 2 Démonstration de l'implication directe * 2.1 Par raisonnement géométrique * 3 Démonstration de la réciproque * 4 Lemme * 5 Voir aussi * 6 Liens externes |-------------------------------------------------
Énoncé[modifier]
Théorème de Ptolémée — Un quadrilatère convexe est inscriptible si et seulement si le produit des longueurs des diagonales est égal àla somme des produits des longueurs des côtés opposés.
Avec les notations de la figure, ce théorème peut être traduit par :
Théorème de Ptolémée — Soit un quadrilatère convexe ABCD,ABCD est inscriptible 
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Démonstration de l'implication directe[modifier]
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Par raisonnement géométrique[modifier]Soit ABCD un quadrilatère inscriptible non croisé. Les angles  et  sont égaux, car ils interceptent le même arc (voir théorème de l'angle inscrit) ; de même .
Construisons le point K tel que  et .On a alors .
Ainsi, les triangles ABK et DBC sont semblables (figure du milieu), de même que ABD et KBC (figure de droite).
On obtient les relations suivantes (voir triangle semblable) :  et d'où  et 
en additionnant il vient  et par construction .
On en déduit l'égalité du théorème : .
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Démonstration de la réciproque[modifier]
(1) Nousadmettrons que l'antécédent d'une droite d par l'inversion de pôle A et de rapport k non nul telle que A n'appartient pas à d est un cercle passant par A, privé de A.
Soient A,B,C et D quatre...
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