TS

Devoir de mathématique n°3

Lundi 23 novembre 2009

Attention : la calculatrice n'est pas autorisée Exercice 1 (8 points)

Soit f la fonction définie sur ℝ par f x = x12 e – x . Sa courbe représentative C est tracée dans le repère orthonormal ci-dessous.

1. À partir de cette représentation graphique, conjecturer : ➢ une équation de la tangente T à la courbe C au point A d'abscisse 0; ➢ les positions relatives de la courbe C et de cette tangente.

2. a) Déterminer la limite de la fonction f en –∞.
2 1 b) Montrer que, pour tout x ≠0, f  x= x2 e – x 1  2  . x x

En déduire la limite de la fonction f en +∞ et interpréter graphiquement ce résultat. 3. a) Calculer f '  x , vérifier que f '  x=1 – x 2 e – x . b) En déduire les variations de f et dresser son tableau de variation. 4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point A d'abscisse 0. 5. Dans cette question, on cherche à étudier les positions relatives de la courbe C et de la tangente T. a) Démontrer que, pour tout réel x, f  x –  x1= x1 e– x g  x avec g  x =x1 – ex . b) Calculer g '  x , en déduire les variations de g (les limites ne sont pas demandées). c) Déterminer le signe de g  x  . d) Déterminer les positions relatives de la courbe C et de la tangente T.

Exercice 2

(7 points)
– 1i  3 . 4

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct O ; u , v  (unité choisie : le centimètre). On pose a =  

1. Calculer le module et un argument de a puis de a n avec n un entier naturel. Écrire a et a n sous forme exponentielle. 2. La définition d'une suite géométrique de nombres réels s'étend aux nombres complexes. On définit la suite géométrique  z n  de nombres complexes par z 0=8 et, pour tout n de ℕ z n1=a z n ; on note M n le point d'affixe z n . a) Déterminer l'expression de z n en fonction de n. b) Calculer z 1 , z 2 et z 3 et vérifier que z 3 est un réel positif. Placer les points M 0 , M 1 , M 2 , M 3 .

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