Nom : Classe :
Prénom :
Devoir surveillé (1h50)
Exercice 1 : (15 minutes, 7 points) Déterminer la limite des suites suivantes :
1) un = 5× 1,3n
2) un =
3n+ 1 n2 −n+ 5
3) un = cos(n) n
4) un =
3
4− 6n
Exercice 2 : (15 minutes, 6 points) ABCDEF est un prisme droit, ses faces ABED, ADFC et
BEFC étant des rectangles.
On considère le point H projeté orthogonal de
F sur la droite (DE).
1) Démontrer que la droite (AD) est orthogo- nale au plan (DEF).
2) En déduire que (FH) est orthogonale au plan (ABE). …afficher plus de contenu…

Au début de l’année 2020, cette population comptait 600 individus. On considère que l’espèce sera menacée d’extinction sur cette île si sa population devient inférieure ou égale à 20 individus.
Le biologiste modélise le nombre d’individus par la suite (un) définie par :{ u0 = 0,6 un+1 = 0,75un (1− 0,15un) où pour tout entier naturel n, un désigne le nombre d’individus, en milliers, au début de l’année
2020 +n.
1) Estimer, selon ce modèle, le nombre d’individus présents sur l’île au début de l’année 2021 puis au début de l’année 2022.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par f (x) = 0,75x(1− 0,15x).
2) Montrer que la fonction f est croissante sur l’intervalle [0 ; 1] et dresser son tableau de …afficher plus de contenu…

On remarquera pour la suite de l’exercice que, pour tout entier naturel n, un+1 = f (un).
4) a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1.
b) En déduire que la suite (un) est convergente.
c) On note ` la limite de la suite (un). On admet que ` est solution de l’équation f (`) = `.
Déterminer `.
5) Le biologiste a l’intuition que l’espèce sera tôt ou tard menacée d’extinction.
a) Justifier que, selon ce modèle, le biologiste a raison.
b) Le biologiste a programmé en langage Python la fonction le script ci-dessous : u = 0,6 n = 0 while u > 0,02 u = 0,75*u*(1-0,15*u) n = n+1 print(n) Donner la valeur numérique affichée lorsqu’on lance le programme ci-dessus.
Interpréter ce résultat dans le contexte de