Devoir surveillé 1
La présentation, la qualité de la rédaction et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer ou souligner leurs ré- sultats. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amené à prendre.
Les calculatrices ne sont pas autorisées. Durée …afficher plus de contenu…

On note D l’ensemble des nombres décimaux, c’est-à-dire l’ensemble{ a 10n , a ∈ Z, n ∈ N
}
.
a) Donner une écriture par compréhension de D vu comme sous-ensemble de Q et une écriture par compréhension de D vu comme sous-ensemble de R.
b) Montrer que D =
{
b
2p 5q , b ∈ Z, (p, q) ∈ N2
}
.
Exercice 3. Soient E un ensemble et A, B et C des sous-ensembles de E.
Montrer que (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
Indication : Pour l’inclusion (A∪C)∩ (B∪C) ⊂ (A∩C)∪ (B∩C), on pourra considérer un élément de (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) et raisonner selon qu’il appartient ou non à C.
Exercice 4. a) En justifiant, donner la valeur de vérité de l’assertion
∀(a, b) ∈ N2,
(
{a, b} = {1, 2}
)
⇒
(
2a+ b = 4
)
.
b) En justifiant, donner la valeur de vérité de l’assertion
∀(a, b) ∈ N2,
(
(a, b) = (1, …afficher plus de contenu…

c) Soit (a, b) ∈ N2. Donner la négation, la contraposée et la réciproque de l’implication(
(a, b) = (1, 2)
)
⇒
(
2a+ b = 4
)
.
d) Soit (a, b) ∈ N2. En justifiant, donner la valeur de vérité de la réciproque de l’implication(
(a, b) = (1, 2)
)
⇒
(
2a+ b = 4
)
.
Tournez la page svp ⇒Exercice 5. On note P l’ensemble des nombres premiers.
a) Écrire avec quantificateurs l’assertion « Tout entier supérieur à 6 peut s’écrire comme la somme de trois nombres premiers. »
b) Donner la négation de l’assertion « ∃ p ∈ P, ∀n ∈ Nr [[0, 6]], ∃ (q, r) ∈ P2, n = p+ q + r ».
Exercice 6. Écrire à l’aide d’intervalles de R le sous-ensemble de R défini par
A =
{
x ∈ R
∣∣∣ (x > 0
)
⇒
(
x > 2
)}