Diagonalisation des matrices

Pages: 5 (1094 mots) Publié le: 22 février 2013
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Mathématiques Economiques |

DIAGONALISATION DES MATRICES
A-MATRICES PARTICULIERES
I. Les matrices diagonales :
Une matrice carrée d’ordre n est dite diagonale si tous ses termes sont nuls sauf ceux qui se trouvent sur la diagonale principale.

Propriétés des matrices diagonales :
1) La somme de 2 matrices diagonales A et B est une matrice diagonale : ses termes diagonauxsont obtenus en faisant la somme des termes diagonaux homologues des matrices A et B.
2) Le produit d’une matrice diagonale A par un nombre est une matrice diagonale dont les termes diagonaux sont le produit par ce nombre des termes diagonaux de la matrice A.
3) Le produit de 2 matrices diagonales A et B est une matrice diagonale dont les termes diagonaux sont le produit des termesdiagonaux homologues des 2 matrices A et B.
4) Le déterminant d’une matrice diagonale A est égal au produit des termes diagonaux de cette matrice.
5) En conséquence : si dans une matrice diagonale, un des termes diagonaux est nul cette matrice n’est pas inversible. Ou encore : pour qu’une matrice diagonale soit inversible, il suffit que sa diagonale ne comporte aucun élément nul.6) L’inverse d’une matrice diagonale A lorsqu’elle existe est une matrice diagonale dont les termes diagonaux sont les inverses des termes diagonaux homologues de la matrice A.
7) A étant une matrice diagonale, est une matrice diagonale dont les termes diagonaux sont les puissances nièmes des termes diagonaux homologues de la matrice A.
II. Les matrices triangulaires :
Un ematrice carrée d’ordre n est triangulaire supérieure (respectivement inférieure) lorsque tous les termes se trouvant au dessous (respectivement au dessus) de la diagonale principales sont nuls. Autrement dit :

Exemple :

Propriétés des matrices triangulaires :
1) La somme de 2 matrices triangulaires supérieures (respectivement inférieures) A et B est unematrice triangulaire supérieure (respectivement inférieure) : ses termes sont obtenus en faisant la somme des termes homologues des matrices A et B.
2) Le produit d’une matrice A triangulaire supérieure (respectivement inférieure) par un nombre est une matrice triangulaire supérieure (respectivement inférieure)  dont les termes sont le produit par ce nombre des termes de la matrice A.
3)Le produit de 2 matrices A et B triangulaires supérieures (respectivement inférieures) est une matrice triangulaire supérieure (respectivement inférieure).
4) Le déterminant d’une matrice A triangulaire supérieure (respectivement inférieure) est égal au produit des termes diagonaux de cette matrice.
5) En conséquence : si dans une matrice triangulaire supérieure (respectivementinférieure) , un des termes diagonaux est nul cette matrice n’est pas inversible. Ou encore : pour qu’une matrice triangulaire supérieure (respectivement inférieure)  soit inversible, il suffit que sa diagonale ne comporte aucun élément nul.
6) L’inverse d’une matrice A triangulaire supérieure (respectivement inférieure)  lorsqu’elle existe est une matrice triangulaire supérieure(respectivement inférieure) .
7) A étant une matrice triangulaire supérieure (respectivement inférieure) , est une matrice triangulaire supérieure (respectivement inférieure) .

III. Les matrices symétriques :
Une matrice carrée A est dite symétrique si elle est égale à sa transposée :

Propriétés des matrices symétriques :
1) La somme de 2matrices symétriques est une matrice symétrique.
2) Le produit d’une matrice symétrique par un nombre est une matrice symétrique.
3) ATTENTION : Le produit de 2 matrices symétriques n’est pas toujours symétrique.

IV. Les matrices semblables :
Deux matrices A et B carrées d’ordre n sont dites semblables s’il existe une matrice carrée d’ordre n inversible telle que :...
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