Durée de l’épreuve : 2 heures.

SUJET A

DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES
Janvier 2010
Le sujet comporte quatre exercices. Les calculatrices sont autorisées. La qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Exercice n°1 : Thèmes abordés : fonctions : problème, Pythagore, lectures graphiques, calcul algébrique :
Partie A :

Etude d’une situation géométrique

Sur la figure ci-contre : les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires,
AB = 6 et BC = 2. Le point M se déplace sur le segment [AB], on note x la longueur AM. On s’intéresse à l’aire du motif constitué des deux carrés (en gris sur le dessin).
1)
2)
3)
4)
5)

Dans quel intervalle varie x ?
Exprimer en fonction de x la longueur MB.
En déduire MC².
Exprimer en fonction de x l’aire du carré AMFG.
Exprimer en fonction de x l’aire du carré MCDE.

6) On appelle f ( x ) l’aire du motif constitué des deux carrés en fonction de x. Calculer f ( x ) , et montrer qu’elle peut s’exprimer par f ( x ) = 2 x 2 − 12 x + 40 .
Partie B :

Etude graphique

On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.
(Unités : 4 carreaux = 1 unité en abscisse ; 1 carreau = 2 unités en ordonnée)

y
Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.
1) Quel est l’ensemble de définition de f ?
2) Quelle est l’image par f de 6 ?
3) Que vaut f (4) ?
4) Résoudre graphiquement l’équation f ( x ) = 30 .
5) Quel est le minimum de f sur son ensemble de définition ? Interpréter ce résultat pour la situation géométrique précédente.
6) Dresser le tableau de variations de la fonction f.
2
0

x

1

y
Partie C :

Etude algébrique

1) Développer l’expression ( x − 3) .
2

2) A l’aide de ce résultat, montrer que pour tout réel x, f ( x ) = 2( x − 3) 2 + 22 .
3) Montrer que pour tout x de l’intervalle [0 ; 6], f ( x ) ≥ 22 . Quel est le minimum de f ?
Exercice n°2 : Thèmes abordés : statistiques : étendue, moyenne,