DECOMPOSTION PRIMAIRE D’UN POLYNOME
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Réduction d’endomorphismes
Diagonalisation de matrices A. DAOUDI Notions abordées I. Matrice diagonale, valeur propre/vecteur propre associé à un endomorphisme/matrice
II. Sous-espace propre associé à une valeur propre
III. Polynôme caractéristique associé à un endomorphisme/matrice
IV. Conditions de diagonalisation d’un endomorphisme/matrice Dans ce chapitre, on note RK  ou CK  .
Pour )(, KN nMn

 désigne l’ensemble des matrices carrées …afficher plus de contenu…

Nous avons montré que )1,1,1( est un vecteur propre de f associé à la valeur propre 2
D’où 2)1,1,1( E . Remarques (important)
Soient
nnf KK : un endomorphisme de n K , )(BMA f où B est une base n K et  une valeur propre de f , on a :
1)  nE
K
0 c’est-à-dire 0)dim( E ;
2) On peut calculer )dim( E par deux méthodes :
 1ère méthode : On applique le théorème du rang à l’endomorphisme )( nIdf
K
 en calculant d’abord )( nIArg 
 2ème méthode : on cherche une base de E en résolvant …afficher plus de contenu…

Cherchons toutes les valeurs propres de A (sachant que 2 est une valeur propre de A )
On a : 2713)34()1()det()( 2  XXXXIXAXP nA
Donc 2465)( 23  XXXXPA
On sait que 2 est une valeur propre de A d’où 2 est une racine du polynôme caractéristique )(XPA (c’est-à-dire 0)2( AP ) donc )2( X divise )(XPA .
Effectuons alors la division euclidienne de )(XPA par )2( X (division suivant les puissances décroissantes) 2465 23  XXX 2X
23 2XX  1232  XX 2463 2  XX XX 63 2  2412 X 2412 X