Projet personnel etudiant

Pages: 37 (9206 mots) Publié le: 2 août 2013
Colles de mathématiques en classes de MPSI & MP*
exercices et problèmes non corrigés pour la préparation des concours

Gaëtan Bisson
ancien élève de l’École normale supérieure agrégé de mathématiques

Colles de mathématiques en classes de MPSI & MP*
Gaëtan Bisson

Colles de mathématiques en classes de MPSI & MP* Copyright © 2006–2009, Gaëtan Bisson Permission vous est donée de copier,distribuer et/ou modifier le contenu de ce document selon les termes de la licence Creative Commons Attribution-Share Alike, version 2.0 : http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/ Site Web de l’auteur : http://www.normalesup.org/~bisson/

Préface
Qu’est-ce ?
Ce document est l’aboutissement du travail de préparation des colles que j’ai assurées pendant l’année 2005–2006 en classespréparatoires MPSI et MP*. Il s’agit d’énoncés de problèmes mathématiques pour la plupart donnés lors de ces colles ; tous n’ont toutefois pas été « testés » et il se peut que, malgré mon attention, quelques coquilles demeurent. Seuls sont proposés ici les exercices que je trouve utile de poser en colle ; en particulier, il n’y a pas d’exercice de calcul. Le calcul est certes indispensable à un élève declasse préparatoire, mais il trouvera une meilleure place en travaux dirigés ou à la maison ; en colles, on y préfèrera les problèmes visant à développer la compréhension et l’intuition des élèves, mettant ainsi à profit la présence du colleur.

Prérequis
La connaissance du cours est indispensable ; elle est, de toute façon, la moindre des choses qu’on peut attendre d’un candidat aux concours.Malgré mes efforts pour ordonnancer le contenu de ce recueil, c’est-à-dire de faire en sorte qu’un exercice ne fasse appel qu’aux connaissances des chapitres qui le précèdent, cela n’a pas toujours été possible et cette règle admet ainsi quelques exceptions. Parfois, pour résoudre un problème, on pourra faire appel à des résultats obtenus par le biais d’autres exercices, en particulier ceux qui setrouvent dans la liste des résultats : y sont répertoriés les résultats classiques ou importants qui font partie de la culture mathématique qu’il est souhaitable de posséder à l’issue des classes préparatoires. Il va sans dire que j’invite tout élève à la consulter et à s’assurer, avant les concours, de sa compréhension des résultats qui y sont répertoriés. i

ii

colles de mathématiquesRemerciements
Ma première pensée va tout naturellement à mes maîtres de classes préparatoires, Jérôme Isaïa et Henri Koen, qui m’ont enseigné de façons si différentes les mathématiques ; je leur en suis très reconnaissant. On pourra par ailleurs remarquer l’influence qu’ils ont eu sur certaines parties de ce travail. L’inspiration m’est par ailleurs venue de Sébastien Gouëzel, alors qu’il étaitcaïman de géométrie différentielle à l’ÉNS, dont les travaux dirigés et les colles foisonnent de problèmes plaisants et enrichissants. Je me dois aussi de saluer Marc Sage et, à travers lui, toutes les personnes que je fréquentais en première année d’école, lors de la rédaction de cet ouvrage, avec lesquelles j’ai eu de si nombreux échanges et discussions, mathématiques ou non. Alexis Museux, que j’aieu le plaisir d’avoir comme colleur pendant mes deux années en classes préparatoires, m’a quant à lui transmit cette façon si agréable d’envisager les colles qui lui est propre, même si cela transparait difficilement dans le présent document. Enfin, je ne pourrais trop remercier Michel Cognet et Jérôme Dégot qui m’ont permis de coller dans leurs classes, en MPSI au lycée Louis-le-Grand et en MP* aulycée Chaptal. À tous, un grand merci. G. Bisson Paris, juin 2006 Nancy, mai 2009

Notations usuelles
f :X →Y f :X Y la fonction f est injective la fonction f est surjective l’ensemble des parties de l’ensemble E l’ensemble des fonctions de X dans Y la partie entière du réel x la valuation p-adique de n le coefficient binomial « k parmis n » le symbole de Kronecker le ne groupe symétrique le...
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