Homothéties

Définition
O est un point, k est un réel non nul.
On appelle homothétie de centre O et de rapport k la transformation qui à tout point M associe le point M' tel que
Si on note h l'homothétie de centre O et de rapport k, les énoncés suivants sont équivalents : M' est l'image de M par h M' = h(M)

Exemples

Le point M' est l'image de M par l'homothétie de centre O et de rapport 3, en effet .

Le point C est l'image de B par l'homothétie de centre A et de rapport – 2, en effet .
Le point B est l'image de C par l'homothétie de centre A et de rapport , en effet .

Conséquences immédiates les points O, M et M' sont alignés (en effet et sont colinéaires) et OM'=|k| OM. le point O est sa propre image, on dit qu'il est invariant. si A, B et C sont trois points alignés, A étant distinct de B et C, alors il existe une unique homothétie de centre A qui transforme B en C. une symétrie centrale de centre O est une homothétie de centre O et de rapport – 1. une homothétie de rapport 1 laisse tous les points invariants.

Propriétés
On considère une homothétie h de centre O et de rapport k.

Propriété fondamentale
Soient A et B deux points quelconques. Si A'=h(A) et B'=h(B), alors .
Démonstration

Comme A' = h(A) on a et comme B'=h(B) on a .
Alors

Image d'une droite
Une homothétie transforme une droite d en une droite d' parallèle à d.
Si la droite d passe par le centre de l'homothétie, alors d' = d.
Démonstration
Soient A et B deux points de d, et A' et B' leurs images par l'homothétie de centre O et de rapport k.
Comme , la doite d' passant par A' et B' est parallèle à d.
Soit M un point de d. Montrons que M' = h(M) est sur d'.
Il existe un réel x tel que .
D'autre part, .
Donc
Cela montre que A', B' et M' sont alignés, donc que M' est sur d'.
En prenant x dans [0;1], cela montre aussi que le segment [A'B'] est l'image du segment [AB].

Triangles homothétiques
Soit ABC un triangle, M un