PRELIMINAIRES
² On notera qu'il est dit dans la troisiµme partie que N1 (f ) · 2N 2 (f ) , ce qui donne un contr^ le (trµs partiel) des calculs e o e des deux premiµ res parties. e ² Dans tout le problµme je note Á les fonctions auxiliaires introduites . e ² J'utilise r¶guliµrement la propri¶t¶: Si Á est continue positive sur R +¤ , si Á se prolonge par continuit¶ en 0 et si e e ¢ e e e ¡ limt!+ 1 t2 Á(t) = L 2 R alors Á est int¶grable sur R +¤ . En e®et les deux premiµres hypothµses assurent l'int¶ grabilit¶ e e e e e sur ]0; 1] alors que la premiµre et la troisiµme l'assure sur [1; +1[ . e e ¡ ¢ ² De m^me si Á est continue positive sur R + et si limt!+1 t2 Á(t) = L 2 R alors Á est int¶grable sur R + e e

PARTIE I - Exemple 1

1) La fonction arctan est de classe C 1 sur R+ , elle v¶ri¯e arctan(0) = 0, donc f est dans E0 : e ar ctan(t)2 Par ailleurs l'application Á : 8t 2 R +¤ , Á(t) = est int¶ grable sur R+¤ car e t2 ² elle est continue positive sur R +¤ ² elle se prolonge par continuit¶ en 0 en posant Á(0) = 1; e ¡ ¢ 2 ² limt!+ 1 t2 Á(t) = ¼4 f appartient µ E 1 a 2) ² La fonction Hx est continue positive sur R + , ² limt!+ 1 (t2 Hx(t)) = 0. donc Hx est int¶ grable sur R+ : e 1 On remarque que (f 0 (t))2 = (1+t2)2 = H1 (t) et donc : f 2 E2 3.1) R On ¶crit '(x) = R + Á(x; t)dt avec : 8 (x; t) 2 R +¤ £ R + e Á(x; t) 7!
1 ( t2+1)( t2+x2) :

Donc :

(le d¶nominateur est non nul car x > 0 ) e

² pour tout x 2 R +¤ la fonction t ! Á(x; t) est continue int¶ grable sur R+ e ² pour tout t 2 R+ la fonction x ! Á(x; t) est continue sur R+ ¤ ² On a la domination sur tout segment [a; b] ½ !R +¤ : 8 e > ind¶pendant de x < 1 + continue int¶grable sur R + (fonction ³ e continue´, positive sur R + car a > 0 8 (x; t) 2 [a; b]£R Á(x; t) · 2 2 > a +t : 1 et lim t2 a 2+t2 = 1 ) ' est continue sur R+ ¤

d'oµ par th¶ orµ me sur les int¶grales µ paramµtres : u e e e a e

3.2)

3.3) D'oµ u Z
X

1 1 h ¡1 1 i = + : (T + 1)(T + x2 ) 1 ¡ x2 T + 1 T + x2 1 h ¡1 1 i + 2 dt